Tema 1: Probabilidade Condicionada

Experimento

Un proceso a través do cal se obtén unha observación.

Tipos de experimentos

  • Determinista
  • Aleatorio

1 Clasifica os seguintes experimentos como deterministas ou aleatorios:

  • a Lanzar unha moeda ao aire e anotar se sae cara ou cruz.
  • b Comprobar o tempo que tarda un obxecto en recorrer unha distancia coñecidas velocidade e condicións do entorno.
  • c O tempo metereolóxico que fará mañá.

Suceso elemental

Cada un dos posibles resultados dun experimento.

Exemplo:

Lanzar un dado de seis caras e observar o resultado.
  • \[\omega_1 =\] "sacar un 1"
  • \[\omega_2 =\] "sacar un 2"
  • ...
  • \[\omega_6 =\] "sacar un 3"

Espazo mostral

Conxunto formado por todos os sucesos elementais.

Exemplo:

Lanzar un dado de seis caras e observar o resultado.

\[ \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots, \omega_6\} \]

Suceso

Un subconxunto do espazo mostral

Exemplo:

Lanzar un dado de seis caras e observar o resultado.
  • \[ A = \] "sacar un número par" \[= \{\omega_2, \omega_4, \omega_6\} \]
  • \[ B = \] "sacar menos dun 3" \[= \{\omega_1, \omega_2 \} \]
  • \[ C = \] "sacar un multiplo de 3" \[= \{\omega_3, \omega_6 \} \]

Suceso Imposible \[ \emptyset \]

Suceso Seguro \[ \Omega \]

2 No experimento de "lanzar un dado de 12 caras e observar o seu resultado" calcula:

  • a Os sucesos elementales.
  • b O espazo mostral.
  • c O suceso \[A =\] “sacar un múltiplo de 3”.
  • d O suceso \[B =\] “sacar un números par”.
  • e Un suceso imposible.

Operaciones con sucesos

  • Unión \[ A \cup B \]
  • Intersección \[ A \cap B \]
  • Complementario \[ \overline{A} \]
  • Diferencia \[ A - B = A \cap \overline{B} \]

Experimento: "Tirar un dado de 6 caras e anotar o resultado".

\[A = \]"Sacar número par" e \[B = \]"Sacar múltiplo de 3"

Unión

Intersección

Diferencia

Complementario

3 Dado o experimento "lanzar un dado de 6 caras e observar o resultado" e sexan \[A\], \[B\] y \[C\] os sucesos "sacar un número par", "sacar un número menor que 3" y "sacar un múltiplo de 3", respectivamente; expresa empregando notación e calcula os sucesos elementais que forman:

  • E Ocorre \[A\] e \[B\] pero non \[C\]. \[ A \cap B \cap \overline{C} = \{ \omega_2 \} \]
  • a Os tres sucesos ocorren simultáneamente.
  • b Ocorren \[A\] ou \[B\], pero non \[C\]
  • c Ocorre algún dos tres sucesos.
  • d Ningún dos tres sucesos ocorre.

Sucesos compatibles e incompatibles

Dous sucesos \[ A \] e \[ B \] son incompatibles se non poden suceder á vez e polo tanto \[A \cap B = \emptyset \]

Propiedades operacións con sucesos

Leis de De Morgan

\[\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \]

\[\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \]

Probabilidade

Medida da incertidume de que ocorra un suceso ao realizar un experimento aleatorio.

Métodos para asignar a probabilidade

Lei de Laplace

Só válido para sucesos equiprobables

\[ P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} \]

4 Dunha baralla española de 40 cartas extráese unha. Calcula as seguintes probabilidades:

  • a Que sexa un rei.
  • b Que sexa de copas
  • c Que no sexa figura (sota, cabalo ou rei).
  • d Que sexa o 7 de espadas.

5Dunha urna que contén 10 bólas numeradas do 1 ao 10 extráese unha bóla. Consideremos os sucesos A = "obter número par", B = "obter un número maior que 7" e C = "obter un múltiplo de tres". Calcula as probabilidades dos sucesos:

  • a \[A\], \[B\] e \[C\]
  • b \[A \cap B\]
  • c \[A \cup B\] e \[A \cup B \cup C\]
  • d \[A - B \]

6Dado o experimento lanzar dous dados de 6 caras, calcula as probabilidades dos seguintes sucesos:

  • a Sacar o mesmo número nos dous dados.
  • b Que os números sumen 7.

Métodos para asignar a Probabilidade

Lei dos grandes números

A frecuencia relativa da ocorrencia dun suceso cando aumentamos moito o número de experimentos estabilizase en torno a un número que podemos tomar como la probabilidade.

Probabilidade

Definición Axiomática de Kolmogorov

\[ P : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \]

  1. Para todo suceso \[A, P(A) \ge 0\]
  2. \[P(\Omega) = 1 \]
  3. Dados \[A, B\] sucesos incompatibles: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Consecuencias

  • \[P(\emptyset) = 0 \Rightarrow 0 \le P(A) \le 1\]
  • \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

Consecuencias

  • \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]

Consecuencias

\[P(A \cup B \cup C) =\]
\[ P(A) + P(B) + P(C) \]
\[- P(A\cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C)\]
\[ + P(A \cap B \cap C)\]

Consecuencias

\[P(A-B) = \]
\[ P(A) - P(A \cap B) \]

7Sexan A e B dous sucesos incompatibles dun experimento aleatorio tales que \[P(A)= 0,2\] e \[P(A\cup B)=0,6\]. Calcula \[P(B)\].

8Consideranse os sucesos \[A\] e \[B\] asociados a un experimento aleatorio con \[P(A)= 0,7\]; \[P(B)=0,6\] e \[P(A\cap B) = 0,4\]. Calcula \[ P(A\cup B)\], \[ P(\overline{A} \cup \overline{B})\] e \[ P(A - B)\].

9Sexan os sucesos A e B tales que \[P(A) = 3/8\], \[P(B)= 1/2\] e \[P(A \cap B) = 1/4\]. Calcula \[P(A \cup B)\], \[P(\overline{A})\], \[P(\overline{A} \cup \overline{B})\] e \[P(\overline{A} \cap \overline{B})\] e e \[ P(A - B)\].

Probabilidade Condicionada

\[ P(B / A ) \]

Probabilidade de que se cumpla B sabendo que se cumple A

10Nunha caixa hai pinzas grandes e pequenas de madera e de plástico según se reflexa na taboa.

Pinzas Grandes Pinzas Pequeñas
Madera 10 19
Plástico 18 23

Elíxese unha ao azar. Calcula a probabilidade de que:

  • a Que sexa grande.
  • b Que sexa grande e de plástico.
  • c Que sexa grande sabendo que é de plástico.

\[G = \text{"que sexa grande"} \]
\[P = \text{"que sexa de plástico"} \]

  • a Que sexa grande. \[\rightarrow P(~~~~~~~~~) \]
  • b Que sexa grande e de plástico \[\rightarrow P(~~~~~~~~~) \]
  • c Que sexa grande sabendo que é de plástico \[\rightarrow P(~~~~~~~~~) \]

11Que probabilidades nos dan e qué probabilidades nos piden no seguinte problema?: \[H = \text{"ser home"}\] \[M = \text{"ser muller"}\] \[A = \text{"adquirir un produto"}\]

Segundo certo estudo dun departamento de vendas, o 30% dos seus clientes son homes, o 25% dos seus clientes adquiren algún produto e o 40% dos que adquiren algún produto son mulleres. ¿Que porcentaxe dos seus clientes son mulleres e adquiren algún produto do departamento de electrónica?[...]

12Que probabilidades nos dan e qué probabilidades nos piden no seguinte problema?: \[D = \text{"estar defectuoso"}\] \[I = \text{"pasar a inspección"}\]

Cando os motores chegan ó final dunha cadea de produción, escóllense os que deben pasar unha inspección. Prodúcense un 10% de motores defectuosos, e o 60% de tódolos motores defectuosos e o 20% dos bós pasan unha inspección. ¿Probabilidade de que un motor sexa defectuoso e pase a inspección e de que un motor sexa bo e pase a inspección?[...]

Probabilidade Condicionada

\[ P(B / A ) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

13 Nunha enquisa realizada en A Coruña determinou que o 40% dos enquisados lee o xornal A Voz de Galicia, o 15% lee o Nós Diario e o 3% lee ambos xornais. Selecionado un lector ao azar do xornal Nós Diario, calcular a probabilidade de que lea tamén La Voz de Galicia.

Regra do produto

\[ P(B / A ) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \Rightarrow \]

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B / A ) \]

\[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B / A ) \cdot P(C / A \cap B) \]

14Dado o experimento, "tirar un dado tres veces" e calcular a probabilidade de sacar un número par a primeira vez, sacar 6 a segunda vez e sacar un múltiplo de 3 a terceira.

15Temos unha bolsa con 3 bólas blancas e 5 negras. Calcular a probabilidade de que ó sacar dúas bólas a primeira sea branca e a segunda negra.

Dependencia de sucesos

Dous sucesos \[A\] e \[B\] son independientes se:

\[P(A) = P(A/B)\] e \[P(B) = P(B/A)\]

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

16 (MACS - Xuño 2003) Sexan \[A\] e \[B\] dous sucesos tales que \[P(A)=0,6\] e \[P(B)=0,3\]. Se \[P(A/B)=0,1\] calcúlese \[P(A \cup B)\] e \[P( \overline{B}/ A )\].

17 (Mat - Xuño 2017) Nun experimento aleatorio, sexan A e B dous sucesos con \[P(\overline{A})=0'4\]; \[P(B)=0'7\] . Se \[A\] e \[B\] son independentes, calcula \[P(A \cup B)\] e \[P(A−B)\]

18 (MACS – Setembro 2014) Sábese que \[P(B/A)=0'7\] , \[P(A/B)=0'4\] e \[P(A)=0'2\]. Calcula \[P( A \cap B)\], \[P( B)\] e \[P(A \cup \overline{B})\]. Xustifica se son independentes ou non os sucesos \[A\] e \[B\].

19 (MACS - Xuño 2017) Segundo certo estudo dun departamento de vendas, o 30% dos seus clientes son homes, o 25% dos seus clientes adquiren algún produto e o 40% dos que adquiren algún produto son mulleres. ¿Que porcentaxe dos seus clientes son mulleres e adquiren algún produto do departamento de electrónica?

20 (MACS - Xuño 2001)Cando os motores chegan ó final dunha cadea de produción, escóllense os que deben pasar unha inspección. Prodúcense un 10% de motores defectuosos, e o 60% de tódolos motores defectuosos e o 20% dos bós pasan unha inspección. ¿Probabilidade de que un motor sexa defectuoso e pase a inspección e de que un motor sexa bo e pase a inspección?

Temos dúas furnas. A primeira con dúas bolas brancas e 5 negras e a segunda con 3 bolas brancas e 1 negra. Lanzamos unha moeda se sae cara collemos unha bola da primeira furna e se sae cruz collemos unha bola da segunda. Cal é a probabilidade de coller unha bola branca?

Conxunto completo de sucesos
Un conxunto de sucesos tal que a súa unión dá o espazo mostral e os sucesos son incompatibles dous a dous.

Por exemplo dado o experimento "lanzar un dado de 6 caras", os sucesos A="sacar par" e B="sacar impar" formarían un conxunto completo de sucesos.

Teorema de las probabilidades totais

Sexa \[A_1, A_2, \dots, A_n\] un conxunto completo de sucesos e sexa \[B\] un sucesos calquera:

\[ P(B) = \sum_{i=1}^n P(B/A_i)P(A_i)\]

21 (MACS - Xuño 2017) Un artigo distribuído en tres marcas distintas A, B e C; véndese nun supermercado. Obsérvase que o 30% das vendas diarias do artigo son da marca A, o 50% son da marca B e o resto son da marca C. Sábese ademais que o 60% das vendas da marca A realízase pola mañá, o 55% das vendas da marca B pola tarde e o 40% da marca C véndese pola mañá. Calcula a porcentaxe de vendas do artigo efectuadas pola mañá.

22 (MACS - Xuño 2010) Un estudo sociolóxico afirma que 3 de cada 10 persoas dunha determinada poboación son obesas, das cales o 60% segue unha dieta. Por outra parte, o 63% da poboación non é obesa e non segue unha dieta. Que porcentaxe da poboación segue unha dieta?

23 (MACS - Xuño 2005) O cadro de persoal duns grandes almacéns está formado por 200 homes e 300 mulleres. A cuarta parte dos homes e a terceira parte das mulleres só traballan no turno da mañá. Elexido un dos empregados ó chou, cal é a probabilidade de que sexa home ou só traballe no turno da mañá?

24 (MACS - Setembro 2007)Nunha cidade, o 55% da poboación en idade laboral son homes; deles, un 12% está no paro. Entre as mulleres a porcentaxe de paro é do 23%. Se nesta cidade se elixe ao chou unha persoa en idade laboral:

  • a Cal é a probabilidade de que sexa home e non estea no paro?
  • b Cal é a probabilidade de que sexa muller e estea no paro?
  • c Calcular a porcentaxe de paro nesa cidade

Diagramas de árbore

24 (MACS - Setembro 2007)Nunha cidade, o 55% da poboación en idade laboral son homes; deles, un 12% está no paro. Entre as mulleres a porcentaxe de paro é do 23%. Se nesta cidade se elixe ao chou unha persoa en idade laboral:

25 (MACS - Xuño 2007) Nunha cidade na que hai dobre número de homes que de mulleres declárase unha epidemia. Un 4% dos habitantes son homes e están enfermos, mentres que un 3% son mulleres e están enfermas. Elíxese ao chou un habitante da cidade, calcular:

  • a Probabilidade de que sexa home.
  • b Se é home, a probabilidade de que estea enfermo.
  • c A probabilidade de que sexa muller ou estea sa.

26 (MACS - Xuño 2008) Nun mercado de valores cotizan un total de 60 empresas, das que 15 son do sector bancario, 35 son industriais e 10 son do sector tecnolóxico. A probabilidade de que un banco dos que cotizan no mercado se declare en creba é 0,01, a probabilidade de que se declare en creba unha empresa industrial é 0,02 e de que o faga unha empresa tecnolóxica é 0,1. ¿Cal é a probabilidade de que se produza unha creba nunha empresa do citado mercado de valores?

Tablas de continxencia

Un estudo sociolóxico afirma que 3 de cada 10 persoas dunha determinada poboación son obesas, das cales o 60% segue unha dieta. Por outra parte, o 63% da poboación non é obesa e non segue unha dieta. Que porcentaxe da poboación segue unha dieta?

\[D\] \[\overline{D}\]
\[O\] 18 12 30
\[\overline{O}\] 7 63 70
25 75 100

27(MACS - Xuño 2018) Nunha empresa, o 20% dos traballadores son maiores de 30 anos, o 8% desempeña algún posto directivo e o 6% é maior de 30 anos e desempeña algún posto directivo.

  • a Que porcentaxe dos traballadores ten máis de 30 anos e non desempeña ningún cargo directivo?
  • b Que porcentaxe dos traballadores non é directivo nin maior de 30 anos?

28 Realízase un estudo para determinar se os fogares dunha pequena cidade se subscribirían a un servizo de TV. Os fogares clasifícanse de acordo ao seu nivel de renda.

Renda baixa Renda media Renda alta
Subscribiríanse 0,05 0,15 0,1
Non se subcribirían 0,15 0,47 0,08

Teorema de Bayes

Probabilidades a posteriori
\[P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

29Unha empresa quere comercializar unha ferramenta eléctrica para a construción e polo tanto é probada por 3 de cada 5 traballadores do sector. Dos que a probaron, o 70% dá unha opinión favorable, o 5% dá unha opinión desfavorable e o resto opina que lle é indiferente. Dos que non probaron a ferramenta, o 60% dá unha opinión favorable, o 30% opina que lle é indiferente e o resto dá unha opinión desfavorable. Sábese que a empresa comercializará a ferramenta se ao menos o 65% dos traballadores do sector dá unha opinión favorable.

  • a Se un traballador elexido ao chou dá unha opinión desfavorable, ¿cal é a probabilidade de que probara a ferramenta?
  • b Que porcentaxe de traballadores dá unha opinión favorable? ¿Comercializará a empresa a ferramenta? Razoa a resposta.
  • c Calcula a porcentaxe de traballadores que proba a ferramenta e opina que lle é indiferente.

30 (MACS - Xuño 2011) Quérese facer un estudo sobre a situación laboral dos traballadores en tres sectores da economía que denotaremos por B1, B2 e B3. A metade dos traballadores pertencen ao primeiro sector B1, e o resto repártense en partes iguais entre os outros dous sectores B2 e B3. O 8% dos do sector B1, o 4% dos do sector B2 e o 6% dos do sector B3 están no paro.

  • a Calcula a porcentaxe de paro entre os traballadores de dito estudo.
  • b Que porcentaxe dos que teñen traballo pertencen ao terceiro sector B3?