Tema 1

Límites de funciones. Continuidad

Matemáticas Aplicadas a las CCSS II · 2º BAC

Repaso de funciones

Qué necesitamos recordar

Antes de trabajar límites y continuidad recuperamos dominio, imagen, cortes con los ejes, crecimiento, decrecimiento y lectura de gráficas.

1Responde teniendo en cuenta la gráfica de la función del Anexo B:

  1. ¿Cuál es el dominio de definición de la función?
  2. ¿Cuál es la imagen de la función?
  3. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en \[ x=19 \]?
  4. ¿Tiene la función máximos o mínimos? ¿Puede una función cualquiera no tener máximos?
  5. Indica un punto en el que la función sea creciente y otro en el que sea decreciente.

2Calcula el dominio y los puntos de corte de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
  2. \[ f(x)=\frac{3}{x+3} \]
  3. \[ f(x)=\frac{3}{x+3}-\frac{2}{x-2}+\frac{3x}{x^2+x-6} \]
  4. \[ f(x)=\sqrt{x^2+3x}-3x \]

Concepto de límite

Idea intuitiva

El límite describe el valor al que se aproxima una función cuando \[x\] se acerca a un punto, aunque la función pueda no tomar ese valor exactamente en dicho punto.

Límites laterales

Por la izquierda: \[ \lim_{x\to a^-} f(x) \]

Por la derecha: \[ \lim_{x\to a^+} f(x) \]

El límite en \[a\] existe si ambos límites laterales existen y coinciden.

3Para la gráfica B.1, calcula:

  1. \[ \lim_{x\to -8^-} f(x) \]
  2. \[ \lim_{x\to -8^+} f(x) \]
  3. \[ \lim_{x\to 11^-} f(x) \]
  4. \[ \lim_{x\to 11^+} f(x) \]
  5. \[ \lim_{x\to 5^-} f(x) \]
  6. \[ \lim_{x\to 5^+} f(x) \]

Cálculo directo

Si la función es continua en \[a\], entonces el límite se obtiene sustituyendo: \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \]

En funciones a trozos hay que estudiar especialmente los puntos donde cambia la definición.

4Calcula los límites cuando \[x\] tiende a \[3\] de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x)=3x+4 \]
  2. \[ f(x)=\begin{cases} x-2 & \text{si } x\lt 3,\\ 1 & \text{si } x\geq 3. \end{cases} \]

Límites en el infinito y en 0

Primer paso

Antes de aplicar ninguna técnica, sustituimos formalmente y analizamos si aparece un valor determinado o una indeterminación.

Operaciones con \[0\] e \[\infty\]

Algunas operaciones tienen resultado inmediato, como \[N+\infty=\infty\] o \[\frac{N}{\infty}=0\]. Otras no tienen un valor único y dan lugar a indeterminaciones.

Con la suma...

  • \[ N \pm \infty = \] \[ \pm \infty\]
  • \[ 0 \pm \infty = \] \[ \pm \infty\]
  • \[ \infty + \infty = \] \[\infty\]
  • \[ \infty - \infty = \] INDETERMINACIÓN

Y que pasa con los polinomios...

\[ \lim_{x\to \infty} x^3 -3x^2 = \]

Analizamos siempre el coeficiente de término de mayor grado pues es el que marcará el sentido de crecimiento.

Con el producto...

  • \[ \pm N \cdot \infty = \] \[\pm \infty\]
  • \[ N \cdot (-\infty) = \] \[ -\infty\]
  • \[ \infty \cdot (\pm \infty) = \] \[\pm \infty\]
  • \[ 0 \cdot 0 = \] \[0\]
  • \[ 0 \cdot (\pm \infty) = \] INDETERMINACIÓN

Con la división...

  • \[ \frac{k}{0} = \] \[\infty\] ● \[ \frac{N}{\infty} = \] \[0\] ● \[ \frac{\infty}{N} = \] \[\infty\]
  • \[ \frac{\infty}{0} = \] \[\infty \cdot \frac{1}{0} = \infty\]
  • \[ \frac{0}{\infty} = \] \[0 \cdot \frac{1}{\infty} = 0\]
  • \[ \frac{\infty}{\infty} = \] INDETERMINACIÓN
  • \[ \frac{0}{0} = \] INDETERMINACIÓN

Con la potencia...

  • \[ N^{\infty} = \] \[\infty\] (con \[N \gt 1\])
  • \[ N^{\infty} = \] 0 (con \[0 \lt N \lt 1\])
  • \[ 0^\infty = \] 0
  • \[1^\infty = \] INDETERMINACIÓN
  • \[\infty^0 = \] INDETERMINACIÓN
  • \[0^0 =\] INDETERMINACIÓN

5Calcula los siguientes límites empleando las propiedades de las operaciones con \[0\] y \[\infty\]:

  1. \[ \lim_{x\to0}\left(3+\frac{1}{2x}\right) \]
  2. \[ \lim_{x\to-\infty}(x^2+3x) \]
  3. \[ \lim_{x\to\infty}\ln(x)+\sqrt{x+3} \]
  4. \[ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}\right) \]
  5. \[ \lim_{x\to\infty}(2x+3)\ln(x) \]

5Calcula los siguientes límites empleando las propiedades de las operaciones con \[0\] y \[\infty\]:

  1. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{2^{-x}}{x^2+3} \]
  2. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{e^{-2x+3}} \]
  3. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{x^3-2}{x^2+3x} \]
  4. \[ \lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1} \]
  5. \[ \lim_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x}} \]

Indeterminaciones

Tipos que resolveremos

Trabajaremos las indeterminaciones \[\frac{\infty}{\infty}\], \[\frac{0}{0}\], \[\infty\cdot0\], \[\infty-\infty\] y \[1^\infty\].

Estrategia general

Primero identificamos la indeterminación. Después transformamos la expresión: dividir por el término dominante, factorizar, racionalizar, reducir a común denominador o usar el número \[e\].

Indeterminación \[\frac{\infty}{\infty}\]

En cocientes de polinomios manda el término de mayor grado. Si aparecen expresiones no polinómicas, comparamos velocidades de crecimiento: exponenciales, polinómicas, radicales y logarítmicas.

6Resuelve los siguientes límites de tipo \[\frac{\infty}{\infty}\]:

  1. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{-x^3+2x^2+x-3} \]
  2. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{2x^2-x+5} \]
  3. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{4x^3-x^2+2x+5}{-2x^2+7x-3} \]
  4. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{x-4}{\sqrt{x^2-1}} \]
  5. \[ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2+3x} \]

Indeterminación \[\frac{0}{0}\]

Las técnicas principales son factorizar para simplificar o multiplicar por el conjugado cuando aparecen radicales.

7Resuelve los siguientes límites de tipo \[\frac{0}{0}\]:

  1. \[ \lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2}{x^2+3x-4} \]
  2. \[ \lim_{x\to2}\frac{x-2}{\sqrt{2x}-2} \]
  3. \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \]

Indeterminación \[\infty\cdot0\]

Transformamos el producto en un cociente para convertirlo en una indeterminación de tipo \[\frac{0}{0}\] o \[\frac{\infty}{\infty}\].

8Resuelve los siguientes límites de tipo \[\infty\cdot0\]:

  1. \[ \lim_{x\to\infty}e^{-x}(x^2+x+1) \]
  2. \[ \lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}-1}(x-1) \]

Indeterminación \[\infty-\infty\]

Según la expresión, operamos la diferencia, reducimos a común denominador o usamos el conjugado.

9Resuelve los siguientes límites de tipo \[\infty-\infty\]:

  1. \[ \lim_{x\to3}\left(\frac{4}{x-3}-\frac{3x}{x^2-x-6}\right) \]
  2. \[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^4-x^2+1}{x^3}-\frac{2x^3+x^2-x+4}{3x^2}\right) \]
  3. \[ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2-2x+6}-(2x-1)\right) \]
  4. \[ \lim_{x\to2}\left(\frac{1}{\sqrt{x-2}}-\frac{3}{\sqrt{x^2-4}}\right) \]

Indeterminación \[1^\infty\]

Usaremos la relación con el número \[e\]: \[ e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x. \]

10Resuelve los siguientes límites de tipo \[1^\infty\]:

  1. \[ \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x+1} \]
  2. \[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-2x+1}{x^2-4}\right)^{\frac{x^2}{x-2}} \]

Ejercicio mixto

Ahora el enunciado ya no indica qué tipo de indeterminación aparece. Primero hay que reconocerla y después decidir la técnica.

11Resuelve los siguientes límites. Identifica previamente, cuando exista, el tipo de indeterminación:

  1. \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2+1)}{x} \]
  2. \[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x+7}\right) \]
  3. \[ \lim_{x\to2}\frac{x^2+3x-10}{x^3-x^2-8x+12} \]
  4. \[ \lim_{x\to+\infty}x\ln\left(\frac{1+x}{x}\right) \]

Continuidad de funciones

Continuidad en un punto

Una función es continua en \[x=a\] cuando existe \[f(a)\], existe \[\lim_{x\to a}f(x)\] y ambos valores coinciden.

Tipos de discontinuidad

Clasificaremos las discontinuidades como evitables, de salto finito o infinitas. En las evitables, puede redefinirse el valor de la función en el punto para hacerla continua.

12Estudia si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado. Si no lo son, clasifica la discontinuidad e indica si puede redefinirse:

  1. \[ f(x)=x^2-3x \] en \[x=2\].
  2. \[ g(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-3} \] en \[x=3\].
  3. \[ f(x)=\begin{cases} x-2 & \text{si } x\lt3,\\ 1 & \text{si } x\geq3. \end{cases} \] en \[x=3\].

Continuidad global

Para estudiar la continuidad de una función localizamos primero los puntos problemáticos: puntos fuera del dominio y puntos donde cambia la definición.

13Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x)=3x+4 \]
  2. \[ f(x)=\frac{x+3}{x^2-9} \]
  3. \[ f(x)=\begin{cases} \frac{2x+6}{x} & \text{si } x\lt1,\\ x+7 & \text{si } x\geq1. \end{cases} \]
  4. \[ f(x)=\begin{cases} 2x+3 & \text{si } x\leq1,\\ x^2+2x+2 & \text{si } 1\lt x\lt2,\\ -3 & \text{si } x\geq2. \end{cases} \]

Continuidad con parámetros

Si una función depende de un parámetro, las condiciones de continuidad nos permiten plantear ecuaciones para determinar sus valores.

14Calcula el valor del parámetro \[a\] para que las siguientes funciones sean continuas:

  1. \[ f(x)=\begin{cases} 2x+a & \text{si } x\leq1,\\ x^2-ax+2 & \text{si } x\gt1. \end{cases} \]
  2. \[ f(x)=\begin{cases} e^{ax} & \text{si } x\leq0,\\ x+2a & \text{si } x\gt0. \end{cases} \]

15Calcula los valores de los parámetros para que las siguientes funciones sean continuas:

  1. \[ f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{si } x\lt0,\\ ax+b & \text{si } 0\leq x\lt1,\\ 2 & \text{si } x\geq1. \end{cases} \]
  2. \[ f(x)=\begin{cases} ax+3 & \text{si } x\leq2,\\ x^2+b & \text{si } x\gt2, \end{cases} \] sabiendo además que \[f(1)=5\].

16Estudia la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro \[a\]:

  1. \[ f(x)=\begin{cases} x^2+ax & \text{si } x\leq2,\\ a-x & \text{si } x\gt2. \end{cases} \]
  2. \[ f(x)=\begin{cases} 3-ax^2 & \text{si } x\leq1,\\ \frac{2}{ax} & \text{si } x\gt1. \end{cases} \]

Asíntotas

Asíntotas verticales

Si \[\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\], entonces la función tiene una asíntota vertical en \[x=a\]. No todo punto excluido del dominio tiene por qué producir una asíntota vertical.

Asíntotas horizontales

Si \[\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=k\], entonces la función tiene una asíntota horizontal \[y=k\] hacia ese extremo.

Asíntotas oblicuas

Una recta \[y=mx+n\] es asíntota oblicua si \[m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\] y \[n=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx).\]

17Estudia la presencia de asíntotas en las siguientes funciones:

  1. \[ f(x)=\frac{x-2}{x^2-4} \]
  2. \[ f(x)=\frac{2x^2-1}{x+2} \]
  3. \[ f(x)=\frac{3x^2+x+1}{x^2-3x-4} \]

Problemas contextualizados

Interpretar resultados

En un problema contextualizado no basta con calcular. Hay que traducir el resultado a las unidades del problema y explicar qué significa en la situación descrita.

18 [2022/Ord] En una zona protegida, el número de aves \[N(t)\], en cientos, viene dado por:

\[ N(t)=\begin{cases} t^2-8t+50 & \text{si }0\leq t\leq10,\\ 95-\frac{250}{t} & \text{si }t\gt10. \end{cases} \]

  1. Estudia la continuidad de la función en \[t=10\] e interpreta el resultado.
  2. Calcula \[\lim_{t\to+\infty}N(t)\].
  3. ¿A qué número de aves tiende la población con el paso del tiempo?

19El precio de cada acción de una empresa oscila entre 2 y 8 euros. La facturación \[F(x)\] depende del precio \[x\] de cada acción:

\[ F(x)=\begin{cases} 3x^2+Ax & \text{si }2\leq x\leq5,\\ 5x^2+Bx-37 & \text{si }5\lt x\leq8. \end{cases} \]

Se sabe que cuando el precio de una acción es de 5 euros la facturación es de 13000 euros y que el modelo debe ser continuo.

  1. Determina los valores de \[A\] y \[B\].
  2. Explica qué significado tendría que la función no fuese continua para \[x=5\].

20 [2020/Ext] Los gastos anuales de una empresa, en cientos de miles de euros, se modelizan mediante:

\[ G(t)=\frac{5t-3}{t+1},\qquad t\geq0. \]

  1. Calcula \[\lim_{t\to+\infty}G(t)\].
  2. Interpreta el resultado en el contexto del problema.
  3. Determina la ecuación de la asíntota horizontal del modelo y explica su significado económico.