Derivadas

Matemáticas aplicadas a las CCSS II

Concepto e interpretación de la derivada

Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función \[f\] en el intervalo \[[a,b]\] mide el cambio medio de la función por unidad de \[x\].

\[ TVM_{[a,b]}(f)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

1Calcula la tasa de variación media en los casos siguientes:

  1. \[f(x)=x^2+1\] en el intervalo \[[-3,-1]\].
  2. \[g(x)=7x-5\] en el intervalo \[[0,2]\].

2¿En cuáles de las funciones del ejercicio anterior es constante la tasa de variación media, independientemente del intervalo elegido? ¿Qué tipo de funciones son?

Derivada mediante la definición

Derivada en un punto

La derivada de \[f\] en \[x_0\] se define como el límite del cociente incremental:

\[f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Cuando existe, representa la pendiente instantánea de la función en ese punto.

3Calcula las siguientes derivadas usando la definición:

  1. Siendo \[f(x)=3x-4\], calcula \[f'(2)\].
  2. Siendo \[g(x)=x^2-4\], calcula \[g'(5)\].

Función derivada

Si podemos calcular la derivada de \[f\] en cada punto de su dominio, obtenemos una nueva función:

\[f'(x)\]

Esta función se llama función derivada de \[f\].

4Calcula la función derivada usando exclusivamente la definición de derivada:

  1. \[f(x)=3x-5\]
  2. \[g(x)=x^2-1\]

Función derivada y cálculo de derivadas

Derivadas elementales

\[(k)'=0\]

\[(x^n)'=n\cdot x^{n-1}\]

\[(e^x)'=e^x\]

\[(a^x)'=a^x\ln a\]

\[(\ln x)'=\frac{1}{x}\]

Suma, resta y producto por escalar

\[(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\]

\[(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\]

\[(k\cdot f)'(x)=k\cdot f'(x)\]

5Calcula las derivadas de las siguientes funciones empleando las derivadas de las funciones elementales y las propiedades de suma, resta y producto por escalar:

  1. \[f(x)=x^3+2x\]
  2. \[g(x)=2x^4+5x^2\]
  3. \[p(x)=2^x\]
  4. \[q(x)=\ln x\]

Producto y cociente

\[(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\]

6Calcula las derivadas de los siguientes productos y cocientes:

  1. \[f(x)=2x\cdot 2^x\]
  2. \[g(x)=x^2e^x\]
  3. \[h(x)=\frac{e^x}{3x^2}\]

Regla de la cadena

Si una función está formada por una composición, derivamos la función exterior y multiplicamos por la derivada de la interior.

\[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

7Calcula las siguientes derivadas aplicando la regla de la cadena:

  1. \[f(x)=(x^2+1)^3\]
  2. \[g(x)=\sqrt{x^2+3x-5}\]
  3. \[h(x)=e^{x^2+2x-1}\]

7Calcula las siguientes derivadas aplicando la regla de la cadena:

  1. \[p(x)=2^{x^2+3x}\]
  2. \[q(x)=\ln(x^2-x)\]
  3. \[r(x)=2\ln(3x+5)\]

Combinación de reglas

En muchas funciones hay que identificar varias reglas: cadena, producto, cociente, logaritmos, exponenciales o potencias.

Antes de derivar conviene observar si la expresión puede simplificarse.

8Calcula las siguientes derivadas:

  1. \[f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^3}\]
  2. \[g(x)=e^{1/x}\]
  3. \[h(x)=\sqrt{\ln x}\]

8Calcula las siguientes derivadas:

  1. \[p(x)=\ln(1+e^x)\]
  2. \[q(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\]
  3. \[r(x)=\big(\ln(x^2+1)\big)^3\]

Derivadas sucesivas

La función derivada también puede derivarse.

\[f'(x),\qquad f''(x),\qquad f'''(x)\]

9Calcula \[f'(x)\], \[f''(x)\] y \[f'''(x)\]:

  1. \[f(x)=x^2+3x-1\]
  2. \[f(x)=e^{2x}\]

La gráfica de \[f'\]

El signo de \[f'\] informa sobre el comportamiento de \[f\].

Los puntos con tangente horizontal se corresponden con valores donde \[f'(x)=0\].

10En cada una de las parejas de gráficas propuestas, decide cuál puede representar a una función \[f\] y cuál a su derivada \[f'\]. Justifica la respuesta atendiendo al signo de \[f'\], las tangentes horizontales y el comportamiento de \[f\].

  1. Comparar función y derivada 1

10En cada una de las parejas de gráficas propuestas, decide cuál puede representar a una función \[f\] y cuál a su derivada \[f'\].

  1. Comparar función y derivada 2

Continuidad y derivabilidad

Derivabilidad

Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y coinciden.

\[f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\]

Continuidad y derivabilidad

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.

El recíproco no siempre es cierto: una función puede ser continua y no ser derivable.

¿Cuándo puede fallar la derivabilidad?

Una función puede no ser derivable por distintos motivos:

  • discontinuidad;
  • punto anguloso;
  • cúspide;
  • tangente vertical.

11Observa las gráficas propuestas e indica en qué puntos no son derivables las funciones. Justifica en cada caso la causa: discontinuidad, punto anguloso, cúspide, tangente vertical u otra.

  1. Gráfica A.2.

Funciones definidas a trozos

En los puntos de cambio de definición conviene estudiar:

  • continuidad;
  • derivada lateral izquierda;
  • derivada lateral derecha.

12Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x)=\begin{cases}x^2+1 & \text{si } x\leq 1,\\ -x+3 & \text{si } x>1.\end{cases} \]

12Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

  1. \[ g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3} & \text{si } x\neq 3,\\ 6 & \text{si } x=3.\end{cases} \]

12Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

  1. \[ h(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\leq \sqrt{2},\\ -x^2+2 & \text{si } x>\sqrt{2}.\end{cases} \]

Funciones con valor absoluto

Para estudiar la derivabilidad de una función con valor absoluto, suele ser útil escribirla como función definida a trozos.

Los puntos importantes son aquellos en los que cambia la expresión del valor absoluto.

13Para las siguientes funciones con valor absoluto, escríbelas como funciones definidas a trozos, calcula sus derivadas laterales en los puntos donde cambia su expresión e indica si son derivables en dichos puntos.

  1. \[f(x)=|x^2-4|\]
  2. \[r(x)=x^2|x|\]
  3. \[f(x)=|x+1|+|x-3|\]

Parámetros y derivabilidad

Funciones a trozos con parámetros

Para que una función a trozos sea derivable en el punto de cambio de definición necesitamos dos condiciones:

\[\text{continuidad}\]

\[\text{igualdad de derivadas laterales}\]

14Comprueba si existen valores de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivables en sus puntos de cambio de definición:

  1. \[h(x)=\begin{cases}a & \text{si } x<-2,\\ x^2-bx+1 & \text{si } x\geq -2,\end{cases} \quad \text{en } x=-2.\]

14Comprueba si existen valores de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivables en sus puntos de cambio de definición:

  1. \[f(x)=\begin{cases}ax+2 & \text{si } x<1,\\ 3(x-2)^2 & \text{si } x\geq 1,\end{cases} \quad \text{en } x=1.\]