Aplicaciones de las derivadas

Recta tangente

Recta tangente en un punto

Si conocemos la función \[f\] y queremos la tangente en el punto de abscisa \[a\], usamos:

\[ y-f(a)=f'(a)(x-a) \]

Rectas tangentes paralelas

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por tanto, si la recta dada tiene pendiente \[m\], buscamos los puntos que cumplen:

\[ f'(x)=m \]

En particular, si la tangente es horizontal:

\[ f'(x)=0 \]

1Calcula la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados.

  1. \[ f(x)=\dfrac{x+2}{x-2} \] en \[ x=0 \].
  2. \[ f(x)=e^{2x-1} \] en \[ x=\dfrac12 \].

2Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas al eje de abscisas en las siguientes curvas.

  1. \[ f(x)=x\ln x \].
  2. \[ g(x)=x^2e^x \].

3Halla los puntos de las siguientes funciones en los que la recta tangente es paralela a la recta indicada. Escribe también las ecuaciones de las correspondientes rectas tangentes.

  1. Función: \[ f(x)=\dfrac{x-4}{x+2} \], recta: \[ 6x-y+5=0 \].
  2. Función: \[ g(x)=x^3-3x \], recta: \[ 9x-y=-2 \].

Monotonía y extremos relativos

Crecimiento y decrecimiento

El signo de la derivada primera permite estudiar la monotonía de la función.

\[ f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ crece} \]

\[ f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decrece} \]

Puntos críticos y extremos

Los puntos críticos son los puntos del dominio en los que la derivada se anula o no existe. Para clasificar un punto crítico conviene estudiar el cambio de signo de \[f'\].

\[ f'(a)=0 \nRightarrow \text{máximo o mínimo} \]

4Analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones así como sus máximos y mínimos relativos.

  1. \[ f(x)=x^3-6x^2+9x \].
  2. \[ f(x)=-3x^4+4x^3 \].
  3. \[ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1} \].

5 [2021/Ext.] Después de \[t\] horas de funcionamiento, el rendimiento de una máquina, en una escala de \[0\] a \[100\], viene dado por \[ r(t)=\frac{kt}{t^2+4},\qquad t>0. \]

  1. Calcula \[k\] sabiendo que el rendimiento a las \[4\] horas es de \[76\].
  2. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento durante las \[7\] primeras horas.
  3. ¿En qué momento se consigue el rendimiento máximo? ¿Cuál es su valor?

Extremos absolutos

Máximo y mínimo absolutos en un intervalo cerrado

Para estudiar extremos absolutos en \[[a,b]\]:

1. Buscamos los puntos críticos interiores.

2. Evaluamos la función en esos puntos y en los extremos del intervalo.

3. Comparamos los valores obtenidos.

8Calcula el máximo y el mínimo absolutos de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

  1. \[ f(x)=x^3-3x \] en \[ [-2,3] \].
  2. \[ f(x)=x^4-4x^2+1 \] en \[ [-2,1] \].

9 [2023/Ord.] El volumen de agua, en millones de litros, almacenado en un embalse a lo largo de un periodo de \[11\] años viene dado por \[ V(t)=t^3-24t^2+180t+8000,\qquad 0\leq t\leq11, \] donde \[t\] es el tiempo transcurrido en años.

  1. Determina los períodos de crecimiento y decrecimiento.
  2. Calcula la cantidad de agua almacenada en el último año.
  3. Calcula el año en el que el volumen fue máximo y dicho volumen máximo.

Curvatura y puntos de inflexión

Concavidad y convexidad

La segunda derivada permite estudiar cómo cambia la pendiente de la función.

Estudiaremos el signo de \[f''(x)\] para decidir la curvatura.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión aparece cuando la función cambia de curvatura. Por eso no basta con resolver \[f''(x)=0\]: hay que comprobar el cambio de signo.

\[ f''(a)=0 \nRightarrow \text{punto de inflexión} \]

12Estudia los intervalos de concavidad y convexidad y determina los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

  1. \[ f(x)=x^3-3x+4 \].
  2. \[ f(x)=xe^x \].
  3. \[ f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1} \].

13Estudia si las siguientes funciones presentan un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión en el punto de abscisa indicado. Justifica la respuesta.

  1. \[ f(x)=x^3-3x^2+3x \] en \[ x=1 \].
  2. \[ g(x)=x^4-2x^2 \] en \[ x=0 \].
  3. \[ h(x)=x^4 \] en \[ x=0 \].
  4. \[ p(x)=x^4+x \] en \[ x=0 \].

14 [2025/Ord.] Dada la función \[ B(t)=(4-t)(t-1)^2,\qquad 0\leq t\leq4, \]

  1. Estudia el crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si existen.
  2. Estudia sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

Funciones dependientes de parámetros

Condiciones habituales

Traducimos la información del enunciado a ecuaciones:

\[ \text{pasa por }(a,b) \Rightarrow f(a)=b \]

\[ \text{extremo en }x=a \Rightarrow f'(a)=0 \]

\[ \text{inflexión en }x=a \Rightarrow f''(a)=0 \]

\[ \text{tangente horizontal en }x=a \Rightarrow f'(a)=0 \]

16Determina el valor del parámetro en la función \[ f(x)=1+\frac{a}{x}+\frac{6}{x^2}, \] sabiendo que tiene un extremo relativo en \[x=3\].

17 [2023/Ext.] Dada la función \[ f(x)=\frac{x}{a}+\frac{a}{x},\qquad x\neq0,\quad a\neq0, \]

  1. Calcula los valores de \[a\] para que \[f(x)\] tenga un punto crítico en \[x_0=3\].
  2. Para \[a=3\], estudia crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad e inflexión.

Problemas de optimización

Proceso general

En un problema de optimización debemos:

1. Elegir la variable.

2. Escribir la función que queremos maximizar o minimizar.

3. Tener en cuenta las restricciones.

4. Derivar, buscar candidatos e interpretar la solución.

20Cada página de un libro debe tener \[600\,\text{cm}^2\] de superficie. Los márgenes alrededor del texto son de \[2\] cm en la parte inferior, \[3\] cm en la parte superior y \[2\] cm a cada lado. Calcula las dimensiones de la página para que la superficie impresa sea lo más grande posible.

21Una agencia organiza un viaje al que ya hay inscritas \[25\] personas. Ha contratado un avión por \[3000\] euros y asume además un gasto de \[450\] euros por persona. Inicialmente, cada viajero debe pagar \[1500\] euros.

Por cada nuevo viajero que se inscriba, la agencia rebajará en \[6\] euros el precio del viaje a todos los viajeros.

¿Cuántos viajeros debe haber para que el beneficio de la agencia sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

24 [2024/Ext.] Una fábrica produce un artículo de pesca deportiva y vende cada unidad a un precio \[ P(x)=-\frac{x^2}{20}+x+55,\qquad 0\leq x\leq30. \] Se sabe que la producción de \[x\] unidades supone un coste fijo de \[80\] euros más un coste variable de \[11,25\] euros por unidad.

  1. Calcula las expresiones de las funciones de coste, ingreso y beneficio.
  2. ¿Cómo debe planificarse la producción para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende? ¿Cuál sería el precio de venta?