Tema 1

Números reales

Conjuntos numéricos

1Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales o irracionales:

  1. 25,37 \[ \in \mathbb{Q} \]
  2. -6/17 \[ \in\mathbb{Q} \]
  3. 2/5 \[ \in \mathbb{Q} \]
  4. \[-\sqrt{12}\] \[ \in \mathbb{I} \]
  5. \[ \pi \] \[ \in \mathbb{I} \]
  6. -5 \[ \in \mathbb{Z} \]

Valor absoluto

Si \[x \in \mathbb{R}\], \[|x|\] es distancia en la recta real de x al 0.

Valor absoluto: propiedades

  • \[|a| \ge 0 \]
  • \[|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \]
  • \[d(a,b) = |a - b|\] (nos permite calcula la distancia entre dos puntos en al recta real)

2Indica el valor absoluto de los siguientes números:

  1. \[|-3|
  2. \[|2|\]
  3. \[|5|\]
  4. \[|-1|\]

Intervalos, semirectas y entornos

Son subconjuntos continuos de la recta real.
  • Intervalos: indicamos principio y fin
  • Semirectas: indicamos principio o fin. El otro extremo es \[\pm \infty\].
  • Entornos: indicamos centro y radio

Intervalos y semirectas

  • Abierto: no incluímos el extremo. Se indica con paréntesis (2,5)
  • Cerrado: incluímos el extremo. Se indica con corchetes [-6,10]

3Representa como intervalos los siguientes conjuntos de números:

  1. \[\{x \in \mathbb{R} / -1 \le x \lt 5 \} \] = [-1, 5)
  2. \[\{x \in \mathbb{R} / -1 \ge x \gt -5 \} \] = (-5,-1]
  3. \[\{x \in \mathbb{R} / -3 \lt x \} \] \[= (-3, \infty) \]
  4. \[\{x \in \mathbb{R} / 3 \gt x \} \] \[= (-\infty, 3) \]
  5. \[\{x \in \mathbb{R} / -1 \le x \le 0 \} \] \[= [-1,0] \]

Operaciones con conjuntos: unión e intersección

Unión

Intersección

Unión e intersección de intervalos

4Dados \[A=(2,4)\], \[B=(-2,4)\] y \[C=(-3, \infty)\], calcula:

  1. \[A \cup B \cup C\]
  2. \[A \cap B \cap C\]
  3. \[(A \cap B) \cup C\]
  4. \[(A \cup B) \cap C\]

Entornos

Indicamos el centro y el radio

\[E(3,4) =\{x \in \mathbb{R} / |x-3| \lt 4 \} = (-1, 7)\]

Entornos

  • Entornos abiertos: se incluyen los extremos. \[E(3, 10)\]
  • Entornos cerrados: no se incluyen los extremos. \[E[-2, 5]\]

5Expresa como entornos los intervalos \[(-5, 2)\] y \[[-10, 10]\]

6Expresa como intervalos los siguientes entornos:

  1. \[E(5,2)\]
  2. \[E(10,13)\]
  3. \[E[0,4.5]\]

Aproximación de números reales

  • Redondeo
  • Truncamiento

7Aproxima los siguientes números como se indica:

  1. Redondea a las centésimas el número 12,23563
  2. Trunca a las décimas el número 9,2934

Cálculo de errores

  • Error absoluto: \[ E_a = |V_{\text{real}} - V_{\text{aproximado}} | \]
  • Error relativo: \[ E_r = \frac{E_a}{V_{\text{real}}}\]

8Calcula el error absoluto y el error relativo cometido al aproximar el número \[\sqrt{2}\] por \[1,4\].

Notación científica

9Escribe, utilizando notación científica, estos números:

  • a Distancia Tierra-Luna: 384000Km \[ = 3,84 \cdot 10^5 \]
  • b Superficie de la tierra: 150000000 km² \[ = 1,5 \cdot 10^8 \]
  • c Longitud de un virus (gripe): 0,0000000022 m \[ = 2,2 \cdot 10^{-9} m \]
  • d Peso de un estafilococo: 0,0000001g \[ = 1 \cdot 10^{-7} g \]

Operaciones con Not. Científica

  • Multiplicación / División
  • Suma / Resta

10 Realiza las siguientes operaciones con números en notación científica:

  1. a \[ 6,342 \cdot 10^4 + 5,34 \cdot 10^{-1} \] \[= 6,3420534 \cdot 10^4\]
  2. b \[ 8,452 \cdot 10^{-6} - 7,24 \cdot 10^{-8} \] \[= 8,3796 \cdot 10^{-6}\]
  3. \[ 8,452 \cdot 10^{-6} \cdot 7,24 \cdot 10^{-8} \] \[= 6,119248 \cdot 10^{-13}\]
  4. \[ 3,43 \cdot 10^3 : 2,45 \cdot 10^{-2} \] \[= 1,4 \cdot 10^5\]

Radical

\[ \sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a \]

Por exemplo \[\sqrt[3]{8} = 2\] porque \[2^3\]

Propiedades

11Extrae factores de los siguientes denominadores:

  1. \[ \sqrt{3^{10} \cdot 5^7 \cdot 7 \cdot 13^2}\]
  2. \[ \sqrt[3]{3^{10} \cdot 5^6 \cdot 7^2 \cdot 13^3} \]

12Introduce los siguientes factores en el radical:

  1. \[ 2 \cdot 3^2 \sqrt{5}\]
  2. \[ 2 \cdot 3^2 \sqrt[5]{5^3}\]

13Simplifica las siguientes expresiones

  1. \[ \sqrt{2} + \frac{3}{2} \sqrt{8} - \frac{1}{4}\sqrt{18} \]
  2. \[ \sqrt[4]{144 a^2} - 2 \sqrt{\frac{27}{16} a} + \sqrt{3a} \]
  3. \[ \frac{a^4 \sqrt[3]{a^2}(\sqrt{a})^3}{\sqrt{\sqrt[3]{a^5}}} \]

Racionalizar

Eliminar las raíces del denominador

14Racionaliza los siguientes denominadores:

  1. \[ \frac{5}{2\sqrt{5}} \]
  2. \[ \frac{5}{2\sqrt[4]{5}} \]
  3. \[ \frac{5}{2\sqrt{5} + 1} \]
  4. \[ \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \]

Logaritmos

\[ log_a (b) = c \iff a^c = b \]

15Aplicando la definición, halla el valor de los logaritmos:

  1. \[log_3 27 \]
  2. \[log_3 \sqrt{27} \]
  3. \[log_5 \sqrt[3]{25} \]
  4. \[log_7 \frac{1}{49} \]
  5. \[log_9 \sqrt[3]{3} \]
  6. \[log_3 0,\widehat{3} \]

Propiedades de los logaritmos

\[log_a (b \cdot c) = log_a (b) + log_a (c)\]

\[log_a (b^n) = n \cdot log_a (b)\]

\[log_a (\frac{b}{c}) = log_a (b) - log_a (c)\]

\[log_a b = \frac{log_x b}{log_x a}\]

16Factoriza y aplica las propiedades de los logaritmos para expresar en función de suma ou resta de logaritmos de números primos:

  1. \[ log~2^4 \cdot 3 - log 2^3 \cdot 3^4 \]
  2. \[ log 24 + log \frac{16}{9} - log 144 \]
  3. \[ log~686 + log~56 - log~\frac{16}{49} \]
  4. \[ log~100 - log \frac{8}{25} + log~250 \]

17Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logaritmos:

  1. \[log E = log~x + 2 log~y - log~z\]
  2. \[log E = 3(log x -1) - 2(1-log y)\]
  3. \[log E = 2 log\sqrt{x} - log x - log y + 3 log \sqrt[3]{y}\]
  4. \[log E = log x^3 + 3 log y - log x^4\]

Ampliación: Tipos de números decimales

Existen decimales exactos (como \( 0.75 \)), periódicos puros (como \( 0.\overline{3} \)) y periódicos mixtos (como \( 0.1\overline{6} \)).

* Indica de qué tipo son los siguientes decimales:

  1. \( 0.5 \)
  2. \( 0.\overline{7} \)
  3. \( 0.12\overline{3} \)
  4. \( \pi = 3.14159265359 \dots \)

Ampliación: Conversión a números decimales

De fracción a decimal

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

De decimal a fracción (decimales exactos)

Para convertir un decimal exacto a fracción, escribe el número como un cociente y simplifica.

De decimal a fracción (decimales periódicos)

Para convertir un decimal periódico a fracción, usa el método algebraico para despejar.

* Transforma los siguientes decimales periódicos a fracción:

  1. \( 3.\overline{5} \)
  2. \( 0.\overline{23} \)
  3. \( 41.\overline{041} \)
  4. \( 6.2\overline{5} \)
  5. \( 0.00\overline{1} \)
  6. \( 5.0\overline{18} \)
  7. \( 5.\overline{03} \)
Ampliación: Pasar de conjuntos a intervalos y entornos:

*Transforma en un intervalo, unión de intervalos o un entorno:

  1. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x - 4| < 6\}$
  2. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x + 2| \leq 5\}$
  3. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x - 7| > 3\}$
  4. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x + 1| \geq 8\}$
  5. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x - 10| < 4\}$
  6. $\{x \in \mathbb{R} \;|\; |x + 6| \leq 2\}$
Ampliación: Cotas de error absoluto y relativo al aproximar

El error absoluto \[E_a\] y relativo \[E_r\] cometidos al aproximar por redondeo serán los siguientes:

\[E_a \lt \epsilon = \frac{1}{2 \cdot 10^n} \]

\[E_r < \frac{\epsilon}{V_{aproximado} - \epsilon}\]

*Indica una cota del error absoluto y relativo de los siguientes redondeos:

  1. El número \[\pi\] a las décimas.
  2. El número \[1234,254\] a las centenas.
  3. El número \[\sqrt{2}\] a las milésimas.