Tema 6

Límites de Funciones. Continuidad

Concepto de límite

Valor que toma la función cuando nos aproximamos a un cierto punto.

Límite lateral

Lím. por la izquierda: \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = b \]

Lím. por la derecha: \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = b \]

1Calcula los siguientes límites analizando la gráfica A.7 del anexo de funciones:

  1. \[ \lim_{x \to -8^-} f(x) \]
  2. \[ \lim_{x \to -8^+} f(x) \]
  3. \[ \lim_{x \to 11^-} f(x) \]
  4. \[ \lim_{x \to 11^+} f(x) \]
  5. \[ \lim_{x \to 5^-} f(x) \]
  6. \[ \lim_{x \to 5^-} f(x) \]

Existencia de límite

El límite de una función en un punto existe cuando existen los límites laterales y estos son iguales.

Cálculo de límites

\[ \lim_{x \to a} f(x) \]

De forma general el límite de una función se calcula calculando f(a).

En una función definida a trozos, en los cambios de definición tendremos que hacer límites laterales y comprobar que coinciden.

2Calcula los límites cuando x tiende a 3 de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x) = 3x + 4 \]
  2. \[ f(x) = \frac{1}{x} \]
  3. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x - 2 & si & x \lt 3 \\ 1 & si & x \ge 3 \end{array} \right.\]
  4. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x^2 -6x + 9 & si & x \lt 3 \\ x-6 & si & x \ge 3 \end{array} \right.\]

Propiedades de los límites

Si \[ \lim_{x \to a} f(x) = L_f \] y \[ \lim_{x \to a} g(x) = L_g \], se cumple:

  • \[ \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x) ) = L_f \pm L_g \]
  • \[ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x) ) = L_f \cdot L_g \]
  • \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_f}{L_g} \]
  • \[ \lim_{x \to a} (f(x)^{g(x)} ) = L_f^{L_g} \]

Límites y el infinito

Ejemplo: función racional \[f(x) = \frac{1}{x} \]
Ver Geogebra

Cuando el resultado es \[ \pm \infty \]

Ejemplo: La función \[f(x) = \frac{1}{x}\] tiene por límites laterales en 0:

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\]

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\]

Cuando la función tiende a \[ \pm \infty \]

Ejemplo: La función \[f(x) = \frac{1}{x}\] tiene por límites cuando \[x\] tiende a \[\pm \infty\]:

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0^-\]

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0+\]

Operaciones con \[0\] e \[\infty\]

Supongamos que N es un real estrictamente mayor que cero.

Con la suma...

  • \[ N \pm \infty = \] \[ \pm \infty\]
  • \[ 0 \pm \infty = \] \[ \pm \infty\]
  • \[ \infty + \infty = \] \[\infty\]
  • \[ \infty - \infty = \] INDETERMINACIÓN

Y que pasa con los polinomios...

\[ \lim_{x\to \infty} x^3 -3x^2 = \]

Analizamos siempre el coeficiente de término de mayor grado pues es el que marcará el sentido de crecimiento.

Con el producto...

  • \[ \pm N \cdot \infty = \] \[\pm \infty\]
  • \[ N \cdot (-\infty) = \] \[ -\infty\]
  • \[ \infty \cdot (\pm \infty) = \] \[\pm \infty\]
  • \[ 0 \cdot 0 = \] \[0\]
  • \[ 0 \cdot (\pm \infty) = \] INDETERMINACIÓN

Con la división...

  • \[ \frac{k}{0} = \] \[\infty\] ● \[ \frac{N}{\infty} = \] \[0\] ● \[ \frac{\infty}{N} = \] \[\infty\]
  • \[ \frac{\infty}{0} = \] \[\infty \cdot \frac{1}{0} = \infty\]
  • \[ \frac{0}{\infty} = \] \[0 \cdot \frac{1}{\infty} = 0\]
  • \[ \frac{\infty}{\infty} = \] INDETERMINACIÓN
  • \[ \frac{0}{0} = \] INDETERMINACIÓN

Con la potencia...

  • \[ N^{\infty} = \] \[\infty\] (con \[N \gt 1\])
  • \[ N^{\infty} = \] 0 (con \[0 \lt N \lt 1\])
  • \[ 0^\infty = \] 0
  • \[1^\infty = \] INDETERMINACIÓN
  • \[\infty^0 = \] INDETERMINACIÓN
  • \[0^0 =\] INDETERMINACIÓN

3Calcula los siguientes límites empleando las propiedades de las operaciones con el 0 y el \[ \infty \]:

  1. \[ \lim_{x \to 0} 3 + \frac{1}{2x}\]
  2. \[ \lim_{x \to -\infty} x^2+3x\]
  3. \[ \lim_{x \to \infty} ln(x) + \sqrt{x+3} \]
  4. \[ \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} - \sqrt{x+1} \]
  5. \[ \lim_{x \to \infty} (2x + 3) \cdot ln(x) \]

3

  1. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2^{-x}}{x^2 + 3}\]
  2. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{e^{-2x+3}}\]
  3. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-2}{x^2+3x}\]
  4. \[ \lim_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1}\]
  5. \[ \lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x})^{x+3}\]
  6. \[ \lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{1}{x}}\]

Indeterminaciones

Estudiaremos como resolver las siguientes indeterminaciones:

  • Indeterminación de tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \]
  • Indeterminación de tipo \[ \frac{0}{0} \]
  • Indeterminación de tipo \[ \infty - \infty \]
  • Indeterminación de tipo \[ 1^{\infty} \]

Indeterminación de tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \]

La técnica consistirá en dividir toda la expresión entre la parte literal del término de mayor grado.

Dependiendo del grado de los dos polinomios podemos tener como resultado: 0, un número o \[\infty\]

Indeterminación de tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \]

En caso de intervenir expresiones no polinómicas, tendremos que estudiar la velocidad de crecimiento de estas expresiones. De mayor a menor tenemos:

  1. Exponenciales
  2. Polinómicas
  3. Radicales
  4. Logarítmicas

4Resuelve los siguientes límites aplicando lo visto sobre indeterminaciones de tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \]:

  1. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x+1}{-x^3+2x^2+x-3} \]
  2. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x+5} \]
  3. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3-x^2+2x+5}{-2x^2+7x-3} \]
  4. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-x^4-5x^2+3}{2x^3+x} \]
  5. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{\sqrt{x^2-1}} \]
  6. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{\sqrt[3]{x^7-1}} \]
  7. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2 +3x} \]

Indeterminación de tipo \[ \frac{0}{0} \]

Aplicaremos dos técnicas:

  • simplificar la fracción algebraica factorizando previamente.
  • Multiplicando por el conjugado (en caso de la presencia de raíces).

Ejemplo: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x+2} \] \[ \lim_{x \to -5} \frac{x+5}{\sqrt{x+6}-1} \]

5Resuelve los siguientes límites aplicando lo visto sobre indeterminaciones de tipo \[ \frac{0}{0} \]:

  1. \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2}{x^2+3x-4} \]
  2. \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2+3x}{2x^2-x} \]
  3. \[ \lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-x} \]
  4. \[ \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \]
  5. \[ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \]

Indeterminación de tipo \[ \infty \cdot 0 \]

La transformaremos en una de tipo \[ \frac{0}{0} \] o de tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \].

6Resuelve los siguientes límites aplicando lo visto sobre indeterminaciones de tipo \[ \infty \cdot 0 \]:

  1. \[ \lim_{x \to \infty } e^{-x} \cdot (x^2 + x + 1) \]
  2. \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{1} -1} \cdot (x-1) \]

Indeterminación de tipo \[ \infty - \infty \]

Aplicaremos dos técnicas:

  • Operando la diferencia en caso de que se pueda.
  • Multiplicando y dividiendo por el conjugado (en caso de la presencia de raíces).

7Resuelve los siguientes límites aplicando lo visto sobre indeterminaciones de tipo \[ \infty - \infty \]:

  1. \[ \lim_{x \to 3} (\frac{4}{x-3} - \frac{3x}{x^2-x-6}) \]
  2. \[ \lim_{x \to \infty} ( \frac{2x^4-x^2+1}{x^3} - \frac{2x^3+x^2-x+4}{3x^2} ) \]
  3. \[ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-2x+6} - 2x+1) \]
  4. \[ \lim_{x \to 2} (\frac{1}{\sqrt{x-2}} - \frac{3}{\sqrt{x^2-4}}) \]

Indeterminación de tipo \[ 1^{\infty} \]

Usaremos la igualdad \[e = \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x})^x\]

8Resuelve los siguientes límites aplicando lo visto sobre indeterminaciones de tipo \[ 1^{\infty} \]:

  1. \[ \lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{x})^{x+1} \]
  2. \[ \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-2x+1}{x^2-4})^{\frac{x^2}{x-2}} \]
  3. \[ \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2-1}{x^2+1})^{x} \]
  4. \[ \lim_{x \to 1} (\frac{x}{2x-1})^{\frac{1}{x-1}} \]

Continuidad

Una función \[f\] es continua en un punto \[x_0\] si:

  • Existe el límite \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \]
  • Y este es igual al valor de la función en el punto (\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\])

9Indica si las siguientes funciones son continuas en el punto \[ x_0 = 3 \]:

  1. \[f(x) = x^2-3x\]
  2. \[g(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-3} \]
  3. \[t(x) = \frac{x}{x^2-9}\]
  4. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x - 2 & si & x \lt 3 \\ 1 & si & x \ge 3 \end{array} \right.\]
  5. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x^2 - 4 & si & x \lt 3 \\ 3 & si & x \ge 3 \end{array} \right.\]

Continuidad

Una función \[f\] es continua en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos de dicho intervalo.

Continuidad

En general todas las funciones vista son continuas en donde están definidas.

Deberemos analizar cambios en la definición de la función (si es a trozos) y puntos donde no están definidas.

Tipos de discontinuidades

  • Evitable
  • De salto finito
  • De salto infinito

Discontinuidad evitable

Existe el límite de la función en el punto \[ x_0\] pero este límite no es igual al valor de la función en dicho punto o la función no está definida en dicho punto.

Discontinuidad de salto finito

Existen los límites laterales en \[ x_0\] pero estos no son iguales y por tanto no existe el límite de la funcióne en el punto.

Discontinuidad de salto infinito

Alguno de los límites laterales de la función en el punto \[ x_0\] tiende a \[ \pm \infty \].

10Indica el tipo de discontinuidad que presentaban en las funciones del ejercicio anterior.

11Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

  1. \[ f(x) = 3x + 4\]
  2. \[ f(x) = \frac{2}{x-4} \]
  3. \[ f(x) = \frac{x+2}{x^2+5+6} \]
  4. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x+6 & x \lt 1 \\ x-7 & x \ge 1 \end{array} \right.\]
  5. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x+3 & x \le 1 \\ x^2+2x+2 & 1 \lt x \lt 2 \\ -3 & x \ge 2 \end{array} \right.\]
  6. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x+6}{x} & x \lt 1 \\ x+7 & x \ge 1 \end{array} \right.\]

12Calcula el valor del parámetro \[a\] para que las siguientes funciones sean continuas:

  1. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x+a & x \le 1 \\ x^2 - ax + 2 & x \gt 1 \end{array} \right.\]
  2. \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{ax} & x \le 0 \\ x+2a & x \gt 0 \end{array} \right.\]

Asíntotas

Asíntotas verticales

Si \[ \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \] entonces la función \[f\] tiene una asíntota vertical en \[x = a\]

Ejemplo: \[f(x)=\frac{x^2-x-6}{3x^2-12}\]

Asíntotas horizontales

Si \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = a \] entonces la función \[f\] tiene una asíntota horizontal por la izquierda o por la derecha en \[y = a\]

Ejemplo: \[f(x)=x \cdot e^x\]

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas son rectas \[ y = mx +n \] donde:

\[ m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}\]

\[ n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) \]

Ejemplo: \[f(x) = \frac{2x^2-3x+1}{4x-2}\]

13Estudia la presencia de asíntotas en las siguientes funciones:

  1. \[f(x) = \frac{x-2}{x^2-4} \]
  2. \[f(x) = \frac{2x^2-1}{x+2} \]
  3. \[f(x) = \frac{3x^2+x+1}{x^2-3x-4} \]
  4. \[f(x) = \frac{x^2-3x}{x^2-x-6}\]