Tema 5

Funciones

Concepto de función

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes de forma que a cada valor de una de ellas se le asigna uno y solo uno de la otra.

  • Variable independiente: \[x\]
  • Variable dependiente: \[y = f(x)\]

Formas de definir una función

  1. Enunciado o regla
  2. Tabla de valores
  3. Gráfica
  4. Expresión algebraica

Gráfica

Representamos los vares de valores (x, f(x)) para cada valor posible de x.

1Indica cual de las siguientes gráficas no corresponde con una función:

Expresión algebraica

Ejemplo: Utilizamos la notación \[f(x)=x^2\] para especificar a la función que a cada número x le hace corresponder su cuadrado \[x^2\]. Por lo tanto \[f(2) = 4\]; \[f(3) = 9\].

2Indica el valor de f(3) para cada caso:

  1. \[ f(x) = 3x + 2 \]
  2. \[ f(x) = x^2 \]
  3. \[ f(x) = \sqrt{x + 1} \]

Características de las funciones

Dominio de definición

Llamaremos dominio de una función \[f\] al conjunto de valores para los que esa función queda perfectamente definida.

\[Dom~f\]

Imagen

Se llama imagen o recorrido de una función a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

\[Im~f\]

Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte con los ejes de una función \[f\] son los puntos de intersección de la gráfica de la función con cada uno de los ejes de coordenadas.

Continuidad

Tipos de discontinuidades

  1. Evitable
  2. De salto finito
  3. De salto infinito

Crecimiento / Decrecimiento

Máximos / Mínimos

Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se va repitiendo cada cierto intervalo.

Simetrías

Una función simétrica es una función en la que se puede encontrar un eje de simetría en su representación gráfica.

  1. Simetría par
  2. Simetría impar

3Describe las características de las funciones en función de los parámetros vistos en clase:

FICHA

Análisis del Dominio

Buscaremos los "problemas" que puedan tener las expresiones.

Análisis de los Puntos de corte

  • Eje x: Resolceremos la ecuación \[f(x) = 0\]
  • Eje y: Calcularemos f(0)

4Calcula el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

  1. \[f(x) = x^2 + 3x\]
  2. \[g(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 4} \]
  3. \[t(x) = \frac{x^2- 3}{x - 6}\]
  4. \[s(x) = \frac{\sqrt{2x-3}}{x-10}\]

Funciones elementales

  • Algebraicas:
    • Polinómicas
    • Racionales
    • Radicales
  • Transcendentes:
    • Exponenciales
    • Logarítmicas
    • Trigonométricas
  • Definidas a trozos

Polinómicas: Función constante

\[f(x) = c\]

Polinómicas: Función lineal

\[ f(x) = mx + n \]

Polinómicas: Función lineal

  • Es una recta
  • \[m\]: Pendiente.
  • \[n\]: Ordenada en el origen

Polinómicas: Función lineal

Para representar calculamos dos puntos.

Polinómicas: Función cuadrática

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Polinómicas: Función cuadrática

  • Es una parábola
  • Signo de \[a\]:
    • Positivo: Ramas hacia arriba.
    • Negativo: Ramas hacia abajo.
  • Vértice en \[x=\frac{-b}{a}\].
  • Simétrica par con respecto a una recta vertical partiendo de vértice.

Polinómicas: Función cuadrática

Para representar calculamos vértice, puntos de corte y puntos de la función teniendo en cuenta la simetría.

5Representa las siguientes funciones polinómicas:

  1. \[f(x) = 3x\]
  2. \[f(x) = -2x + 3\]
  3. \[f(x) = x^2 - 3x\]
  4. \[f(x) = 2\]
  5. \[f(x) = -2x^2 +10x + 12\]
  6. \[f(x) = x - 4\]

Transformaciones de funciones

  • \[f(x-k)\]
  • \[f(x) + k \]
  • \[-f(x)\]
  • \[f(-x)\]

Función racional

\[ f(x) = \frac{k}{x} \]

Función racional

Ver Geogebra

Función radical

\[ f(x) = \sqrt{x} \]

Función radical

Ver Geogebra

Función Exponencial

\[ f(x) = a^x \]

Función Exponencial

Ver Geogebra

Función Logarítmica

\[ f(x) = log_a(x) \]

Función Logarítmica

Ver Geogebra

Funciones trigonométricas

\[ f(x) = sen(x) \]

\[ f(x) = cos(x) \]

\[ f(x) = tan(x) \]

6Busca las gráficas y funciones de tus compañeras que se corresponden con las tuyas.

FICHAs

7Resuelve el siguiente Kahoot! identificando las expresiones geométricas de las siguientes gráficas.

Kahoot!

Función definida a trozos

\[ \begin{cases} f(x) ~~~ cond. \\ g(x) ~~~ cond. \\ \dots \end{cases} \]

8Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

  1. \[f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x - 3 & si & x \lt 5 \\ 4 & si & x \ge 5 \end{array} \right.\]
  2. \[t(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x^2 +7x + 10 & si & x \lt -1 \\ 8 & si & -1 \le x \le 3 \\ -x + 3 & si & x \gt 3 \end{array} \right.\]
  3. \[g(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} 2x & si & x \lt -4 \\ 4 & si & -4 \le x \lt 6 \\ -x^2 +12x -30 & si & x \ge 6 \end{array} \right.\]

Operaciones con funciones

Suma, resta producto y cociente

Composición de funciones

\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

9Dadas las funciones \[f(x) = 2x + 3\] , \[g(x) = \sqrt{x}\] y \[s(x) = x^2\] calcula:

  1. \[ (f+g)(x) \]
  2. \[ (f \cdot g)(x) \]
  3. \[ (\frac{s}{f})(x)\]
  4. \[ (g \circ f)(x)\]
  5. \[ (f \circ s)(x)\]

Función inversa

\[ (f \circ f^{-1})(x) = id(x) \]

\[ f(x) = \sqrt{x}\] e \[g(x) = x^2\]. Entón \[(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2} = x\].

Cálculo de la función inversa

10Calcula la inversa de las siguientes funciones:

  1. \[f(x) = (x-2)^2\]
  2. \[g(x) = \sqrt{x-3} \]
  3. \[t(x) = \frac{x-1}{x+2}\]