Tema 3

Trigonometría

Grados y Radianes

Unidades de medida de los ángulos

\[ 360º = 2\pi rad \]

1Expresa en radianes las siguientes medidas angulares:

\[30º\]
\[60º\]
\[200º\]
\[330º\]

2Expresa en grados las siguientes medidas angulares:

\[ \frac{7\pi}{3} rad \]
\[ \frac{3\pi}{2} rad \]
\[ 4 rad\]
\[ 4\pi rad \]

Razones trigonométricas

Ver en Geogebra

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

\[ sen(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\]
\[ cos(\alpha) = \frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}\]
\[ tan(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}\]

Razones trigonométricas de 30º, 60º y 45º

Razones trigonométricas de ángulos comunes

	30º	45º	60º
sen
cos
tan

Calculadora!

Resolución de triángulos

Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y todos sus ángulos

Triángulos Rectángulos

Suma de ángulos de un triángulo
Teorema de Pitágora
Razones trigonométrica
Razones trigonométrica inversas

Razones trigonométricas inversas

Ejemplos

\[\widehat{A} = 90º; \widehat{C} = 60º; c = 9~cm \]
\[\widehat{A} = \pi/2~rad; b = 9~cm; c = 6~cm \]

3Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

\[\widehat{A} = 90º; b = 7~cm; c = 4~cm \]
\[\widehat{A} = 90º; \widehat{C} = 60º; c = 7~cm \]
\[\widehat{A} = 90º; a = 8~cm; b = 3~cm \]
\[\widehat{A} = 90º; \widehat{C} = 30; c = 2~cm \]

Triángulos obtusángulos y acutángulos

Teorema del coseno
Teorema del seno

Teorema del coseno

También llamado Teorema de Pitágoras Generalizado

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\widehat{A}) \]

Teorema del coseno: Demostración

Teorema del seno

\[ \frac{a}{sen(\widehat{A})} = \frac{b}{sen(\widehat{B})} = \frac{c}{sen(\widehat{C})} \]

Teorema del seno: demostración

4Resuelve los siguientes triángulos no rectángulos:

\[\widehat{A} = 80º; \widehat{B} = 40º; a = 8~dm \]
\[\widehat{A} = 80º; a = 10~m; b = 5~m \]
\[a = 10~cm; b = 15~cm; c = 20~~cm \]
\[\widehat{A} = 75º; b = 8~mm; c = 12~mm \]

Identidades trigonométricas

\[cos^2(x) + sen^2(x) = 1\] \[tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}\] \[1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}\]

5Calcula en cada caso el resto de las razones trigonométricas:

\[sen(x) = 3/4 \]
\[cos(x) = 2/5 \]
\[tan(x) = 3 \]

Razones trigonométricas para ángulos mayores de 90º

Circunferencia goniométrica

6Indica en que cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos y el signo de sus razones trigonométricas (seno, coseno y tangente):

\[ 100º \]
\[ 300º \]

Razones trigonométricas de ángulos comunes

	0º	30º	45º	60º	90º	180º	270º	360º
sen
cos
tan

5Calcula en cada caso el resto de las razones trigonométricas:

g \[sen(x) = 12/13 ~~~~ x \in (90º,270º) \]
h \[cos(x) = -0,96 ~~~~ x \in (0º,180º) \]
i \[tan(x) = -8/15 ~~~~ x \in (90º,180º) \]

Relación entre razones trignométricas de ángulos

Ángulos suplementarios: suman 180º (\[ \pi rad \])
Ángulos complementarios: suman 90º (\[ \frac{\pi}{2} rad \])
Ángulos opuestos: suman 360º (\[2 \pi rad \])
Angulos mayores de 360º (\[2 \pi rad \])

7Calcula las siguientes razones expresándolas en función del valor de ángulos del primer cuadrante

\[ sen(1380º) \]
\[ cos(1665º) \]
\[ tan(1920º) \]
\[ tan(690º) \]

Fórmulas trigonométricas

R. trigonométricas del ángulo suma

\[sen(\alpha + \beta) = sen(\alpha)cos(\beta) + sen(\beta)cos(\alpha) \\ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sen(\alpha)sen(\alpha) \\ tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)} \]

R. trigonométricas del ángulo diferencia

\[sen(\alpha - \beta) = sen(\alpha)cos(\beta) - sen(\beta)cos(\alpha) \\ cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sen(\alpha)sen(\alpha) \\ tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)} \]

8Conociendo el valor de las razones trigonométricas de 30º, 45º, 60º; calcula las siguientes razones trigonométricas aplicando las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo suma y diferencia:

\[sen(75º)\]
\[cos(15º)\]
\[tan(105º)\]

R. trigonométricas del ángulo doble

\[sen(2\alpha) = 2sen(\alpha)cos(\alpha) \\ cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sen^2(\alpha) \\ tan(2\alpha) = \frac{2 tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)} \]

R. trigonométricas del ángulo mitad

\[sen(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos(\alpha)}{2}} \\ cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(\alpha)}{2}} \\ tan(\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos(\alpha)}{1 + cos(\alpha)}} \]

9Calcula empleando las formulas trigonométricas vistas:

a Sabiendo que \[tan(\alpha) = -4\] y \[\alpha \in (270º,360º)\]:
1. \[tan(\alpha + 30º)\]
2. \[cos(2\alpha)\]
3. \[tan(\alpha - \frac{\pi}{3})\]
4. \[tan(\frac{\alpha}{2})\]

9Calcula empleando las formulas trigonométricas vistas:

b Sabiendo que \[sen(\alpha) = \frac{1}{3}\] y \[\alpha \in (0º,90º)\]:
1. \[sen(\alpha + 45º)\]
2. \[cos(2\alpha)\]
3. \[tan(\alpha + \frac{\pi}{6})\]
4. \[cos(\frac{\alpha}{2})\]

9Calcula empleando las formulas trigonométricas vistas:

c Sabiendo que \[sen(\alpha) = \frac{3}{5}\], que \[\alpha \in (90,180º)\], que \[cos(\beta) = \frac{5}{13}\] y que \[ \beta \in (0º,90º) \]:
1. \[sen(\alpha - \beta)\]
2. \[cos(3\beta)\]
3. \[cos(\frac{\alpha}{2})\]

Transformación de producto en suma

\[ sen(\alpha) \cdot sen(\beta) = \frac{1}{2} (cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)) \\ cos(\alpha) \cdot cos(\beta) = \frac{1}{2} (cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)) \\ sen(\alpha) \cdot cos(\beta) = \frac{1}{2} (sen(\alpha + \beta) + sen(\alpha - \beta)) \\ cos(\alpha) \cdot sen(\beta) = \frac{1}{2} (sen(\alpha + \beta) - sen(\alpha - \beta)) \\ \]

Transformación de suma en producto

\[ sen(A) + sen(B) = 2 sen(\frac{A+B}{2}) \cdot cos(\frac{A-B}{2}) \\ sen(A) - sen(B) = 2 cos(\frac{A+B}{2}) \cdot sen(\frac{A-B}{2}) \\ cos(A) + cos(B) = 2 cos(\frac{A+B}{2}) \cdot cos(\frac{A-B}{2}) \\ cos(A) - cos(B) = -2 sen(\frac{A+B}{2}) \cdot sen(\frac{A-B}{2}) \\ \]

10Transforma en productos y calcula:

\[cos(15º) - cos(75º)\]
\[sen(30º) + sen(330º)\]

11Transforma en sumas o diferencias y calcula:

\[cos(225º)sen(15º)\]
\[sen(285º)sen(75º)\]

12Demuestra que se cumplen las siguientes expresiones usando las fórmulas trigonométricas vistas:

\[ \frac{cos(\alpha - \beta)}{cos(\alpha + \beta)} = \frac{1 + tan(\alpha) \cdot tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)} \]
\[ cos(x + \frac{\pi}{3}) - cos(x + \frac{2\pi}{3}) = cos(x)\]
\[ \frac{2 sen(x) - sen(2x)}{2 sen(x) + sen(2x)} = \frac{1 - cos(x)}{1 + cos(x)}\]
\[ \frac{sen(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)} = tan(\alpha)\]

13Simplifica:

\[\frac{sen(40º) + sen(50º)}{cos(40º) - cos(50º)}\]
\[\frac{2sen(\alpha - \beta)}{sen(2\alpha)}\]

Ecuaciones trigonométricas

Técnicas que podemos usar:

Funciones trigonométrica inversas.
Cambio de variable.
Fórmulas trigonométricas.
Separar en dos ecuaciones cuando tenemos un producto igualado a cero.

Ejemplos:

\[ cos(x) = 0,8 \\ cos(2x - 3) = 0,8 \\ cos(2x) = cos(x) \\ sen(5x) - sen(3x) = 0 \]

14Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

\[ 2sen(3x-30º) = -1 \]
\[ 4 cos^2(x) -3 = 0\]
\[ cos(x) + sen(2x) = 0\]
\[ cos(2x) + cos^2(x) = 2\]
\[ 2 sen^2(x) - sen(x) = 1\]

14Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

f \[ cos(x) + cos(2x) = 0\]
g \[ tan(2x) + tan(x) = 0\]
h \[ sen(x) + 5cos(x) = 0 \]
i \[ 2 sen^2(x) - 5 cos(x) + 1 = 0 \]
j \[ sen(3x) + sen(5x) = 0 \]

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Igualación
Reducción
Substitución

15Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:

\[ \begin{cases} -x + y = 90 \\ sen(x) - cos(y)= 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ sen(x) + cos(y)= 0 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} sen(x) + cos(y) = 1 \\ 4 sen(x) - 2cos(y) = 1 \end{cases} \]

15Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:

d \[ \begin{cases} sen(2x+y) = -\frac{1}{2} \\ cos(x-y) = -1 \end{cases} \]
e \[ \begin{cases} 2cos(x-2y) = \sqrt{3} \\ tan(2x-y) = -1 \end{cases} \]
f \[ \begin{cases} cos^2(x) + sen(y) = 0 \\ sen^2(x) + sen(y) = 1 \end{cases} \]