Tema 1

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Polinomios

Valor numérico de un polinomio

Raíz de un polinomio

Operaciones con polinomios

Suma y Resta

Multiplicación

1Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

  1. \[(2x^2-2x-13)(3x^2-2x)-3x\]
  2. \[(2x^2-3x+2)(-3x^2+x+1) + (6x-10)x^3\]

Operaciones con polinomios

Potencias

  • Igualdades notables
  • Binomio de Newton

2Calcula las siguientes potencias de polinomios:

  1. \[(2x^2y^2 - 4x)^2\]
  2. \[(3x^2y-4x)^3\]
  3. \[(y^2+3)^4\]
  4. \[(x^2 + 3y + 7)^2\]

Operaciones con polinomios

División

  • División entera
  • Método de Ruffini

3Calcula el cociente y el resto de la división de los siguientes polinomios usando el método adecuado:

  1. \[(6x^4+7x^3-5x^2-6x-6):(3x^2+2x+1)\]
  2. \[(3x^3+10x^2-6x+5):(x+4)\]

Factoriación de polinomios

4Factoriza los siguientes polinomios:

  1. \[x^3-2x^2-5x+6\]
  2. \[x^3+x^2-5x+3\]

Fracciones algebraicas

Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación y división

Suma y resta

5Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas. Simplifica el resultado:

  1. \[\frac{1}{x-3} + \frac{3x-10}{x^2-6x+8} - \frac{2x-7}{x-4}\]
  2. \[\frac{x^2-1}{x+3} \cdot \frac{x^2-4}{x-1} \cdot \frac{x^2-9}{x+2}\]

Ecuaciones polinómicas

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de segundo grado

\[ax^2 + bx + c = 0\]

  • Fórmula general
  • Sacar factor común (incompletas)
  • Despejar \[x^2\] (incompletas)
  • Otros métodos
    • Cardano-Vieta
    • Completar a cuadrado perfecto

Bicuadradas

\[ax^4 + bx^2 + c = 0\]

Ecucaciones de grado superior a dos

Factorizar...

6Resuelve las siguientes ecuaciones:

  1. \[\frac{2x}{3} - \frac{x-2}{12} + \frac{x+3}{2} = 2x - \frac{1}{6}\]
  2. \[\frac{x+10}{2} + \frac{2(x-2)}{5} = \frac{5x-15}{3}\]
  3. \[4x^2-7x -2 = 0\]
  4. \[x(2x-1) -3x(x+1) = 0\]
  5. \[x^4-x^3-5x^2-x= 6\]
  6. \[x^4- 125x^2 + 484 = 0\]

Ecuacion racional

Son aquellas que contienen fracciones algebraicas

7Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

  1. \[ \frac{2x+3}{x^2-x} = \frac{x}{x^2 + x -2} \]
  2. \[ \frac{x+2}{x^3-x} = \frac{x+1}{x^3-2x^2+x} \]
  3. \[ \frac{3}{x^3+x^2-6x} = \frac{1-5x}{x^3-5x^2+6x} \]
  4. \[ \frac{2x-3}{x^2-x} - \frac{5-2x}{x^2+x} = \frac{3x-5}{x^2-1} \]

Ecuaciones con radicales

8Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:

  1. \[ \sqrt{2x+3} + x = 6 \]
  2. \[ x - \sqrt{2x-1} = 2 \]
  3. \[ \sqrt{x+2} - \sqrt{x-1} = 1 \]
  4. \[ \sqrt{3x + 9} - \sqrt{2x+1} = 2 \]

Ecuaciones logarítmicas

9Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:

  1. \[ log(3+x) = log (6) -log(4-x) \]
  2. \[ 2 log(2x+1) - log(x+1) = log(x-7)\]
  3. \[ log(x+1) = 1 - log(x-8)\]
  4. \[ 2log_2(x+1) = 3 + log_2(x-1)\]

Ecuaciones exponenciales

10Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

  1. \[ 2^{8-2x} = \frac{1}{4} \]
  2. \[ (\sqrt{2})^{x^2+1} = \sqrt[8]{32}\]
  3. \[ 2^{x+2} - 2^{x+1} - 2^x + 2^{x-1} = 12\]
  4. \[ 3^{x+3} - 3^{x+1} - 3^{x-1} = 71 \]
  5. \[ 2^{x+1} = 5 \]
  6. \[ 5^{\frac{1}{x}} = \sqrt{2} \]

11

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

  • Sistemas Compatibles
    • Determinado
    • Indeterminado
  • Sistemas Incompatibles

Sistemas de ecuciones lineales

Con dos ecuaciones

  • Igualación
  • Reducción
  • Substitución

12Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que creas conveniente:

  1. \[ \begin{cases} 2(x+3) - 4(x+2y-1) = 21 \\ 5(3x-y) + 3(2x+4y-2) = -6 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} \frac{9(x-2)}{10} - \frac{4(2y + 3)}{15} = \frac{-7}{30} \\ -\frac{5(x+4)}{12} + \frac{7(y-1)}{18} = -\frac{1}{36} \end{cases} \]
  3. \[\begin{cases} \frac{3(x+1)}{2} - \frac{7(y-2)}{10} = \frac{4}{5} \\ \frac{3(x2-1)}{8} + \frac{5(y-2)}{6} = \frac{11}{24} \end{cases}\]

Sistemas de ecuciones lineales

Método de Gauss-Jordan

13Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss-Jordan. Clasifica los sistemas en función de sus soluciones:

  1. \[ \begin{cases} x+2y-z=2 \\ 2x-y+3z = 9 \\ x+4y-4z = -3 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 2x + y + 2z = 10 \\ x - y + 3z = 6 \\ 2x + y + 5z = 16 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} x + y + 3z = 5 \\ -x - y - 3z = 6 \\ 2x - 2y + 6z = 13 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} x+y-2z = 3 \\ 2x-4y+6z = 4 \\ -x+2y-3z = -2 \end{cases} \]

Sistemas de ecuaciones no lineales

13Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

  1. \[ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4 \\ xy = -8 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} \sqrt{x+1} + 2\sqrt{y} = 4 \\ x+3y=6 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} -\frac{x-y}{x+y} = \frac{8}{3} \\ xy = 2 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = -1 \\ 2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 13 \end{cases} \]
  1. \[ \begin{cases} x+y = 70 \\ log(x) + log(y) = 3 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} log(x+y) - log(x-y) = log(5) \\ 2^x = 4 \cdot 2^y \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 3 \cdot 5^x + 2 \cdot 6^{y+1} = 507\\ 15 \cdot 5^x - 6 ^y = 339 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} log(x^2) - log(y^2) = 6 \\ log(x) + log(y) = 1 \end{cases} \]

Inecuaciones

Inecuaciones de primer grado

Las resolvemos igual que las ecuaciones pero en caso de multiplicar/dividir entre algo negativo cambiamos el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 1: \[2x -3 \lt 7\]

Ejemplo 2: \[-2x -3 \lt 7\]

Inecuaciones polinómicas

  1. Simplificamos y dejamos uno de los dos miembros nulos
  2. Calculamos las raíces del polinomio. Esas raíces dividen la recta real en intervalos.
  3. Elegimos un valor dentro de ese intervalo (nunca en el extremo) y comprobamos si confirma la inecuación.

Ejemplo: \[x^3 - x + 3 \gt 3 \]

Inecauciones racionales

  1. Operamos y simplificamos hasta obtener una unica fracción algebraica en un miembro y el otro nulo
  2. Calculamos las raíces de numerador y denominador. Esas raíces dividen la recta real en intervalos.
  3. Elegimos un valor dentro de ese intervalo (nunca en el extremo) y comprobamos si confirma la inecuación.

Ejemplo: \[ \frac{2x-6}{x^2-4} \gt 0 \]

14Resuelve las siguientes inecuaciones:

  1. \[ \frac{x-3}{2} - \frac{x-2}{8} \lt \frac{x}{2} \]
  2. \[ x^2-3x \gt 0 \]
  3. \[ x^2 - x \ge 6 \]
  4. \[ x^3 +x^2 - x -1 \lt 0 \]
  5. \[ \frac{5x-2}{2x+1} \gt 0 \]
  6. \[ \frac{4x-5}{4x^2-x-5} \gt 0 \]
  7. \[ \frac{x^3-4x}{2x+6} \gt 0 \]

Sistemas de inecuaciones

Sistemas de inecuaciones con 1 incógnita

Resolvemos cada uno de los sistemas y calculamos la intersección de los dos conjuntos solución.

Ejemplo: \[ \begin{cases} 2x - 3 \lt 5 \\ x + 4 \gt 2 \end{cases} \]

15Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

  1. \[ \begin{cases} 2x+1 \lt x+2 \\ 3x-1 \le 4x \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 3x - 4 \gt x \\ x \ge 2x -1 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} x^2 +2x -3 \ge 0 \\ 2(x-3) \ge -6 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} \frac{x-1}{x+2} \gt 0 \\ x^2 \ge 1 \end{cases} \]