Tema 8

Vectores y rectas en el plano

Magnitudes escalares y vectoriales

Mientras que las magnitudes escalares solo indican una cantidad, las escalares tambíen indican una dirección y sentido.

Vector

Segmento orientado (es decir, una "flecha") definidos por dos puntos, su origen y su extremo.

Si esos dos puntos son A y B el vector se denota por \[\overrightarrow{AB}\]

Coordenadas de un vector

1Dado los puntos del plano A(3,5); B(3,9) y C(2,5) representa y calcula las coordenadas de los siguientes vectores:

  • a \[\overrightarrow{AB}\]
  • b \[\overrightarrow{BA}\]
  • c \[\overrightarrow{BC}\]
  • d \[\overrightarrow{AC}\]

Vector de posición

Dado un punto A su vector de posición es el vector que une el origen de coordenadas O(0,0) y dicho punto.

Elementos de un vector

  • Módulo: su tamaño
  • Sentido
  • Dirección: donde está su origen y su fin

Módulo de un vector

Módulo vector

Sea \[\overrightarrow{v}(v_1,v_2)\] un vector su módulo es:

\[|v| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

2Calcula el módulo de los vectores con las siguientes coordenadas:

  • a \[\overrightarrow{v}(2,3)\]
  • b \[\overrightarrow{u}(-2,4)\]
  • c \[\overrightarrow{w}(-3,6)\]
  • d \[\overrightarrow{t}(1,1)\]

Vectores equipolentes y vector libre

3Del siguiente conjunto de vectores indica cueles son unipolentes:

3Dibuja dos vectores equipolentes a cada uno de los que se muestran a continuación:

Operaciones con vectores: suma

De forma gráfica

Operaciones con vectores: suma

De forma analítica...

\[(x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)\]

4Representa y calcula de forma analítica la suma de los siguientes vectores:

  • a \[\overrightarrow{u}(1,1) + \overrightarrow{u}(2,3)\]
  • b \[\overrightarrow{u}(3,2) + \overrightarrow{u}(-1,0)\]
  • c \[\overrightarrow{u}(-2,6) + \overrightarrow{u}(4,3)\]
  • d \[\overrightarrow{u}(1,3) + \overrightarrow{u}(-2,-1)\]

Operaciones con vectores: producto por escalar (un número)

De forma gráfica

Operaciones con vectores: producto por escalar (un número)

De forma analítica...

\[\lambda (x_1, y_1) = (\lambda \cdot x_1, \lambda \cdot y_1)\]

5Representa y calcula de forma analítica los siguientes productos escalares de vectores:

  • a \[ 4 \cdot \overrightarrow{u}(1,1)\]
  • b \[ 3 \cdot \overrightarrow{u}(3,2)\]
  • c \[ 0,5 \cdot \overrightarrow{u}(-2,6)\]
  • d \[ -2 \cdot \overrightarrow{u}(1,3)\]

Ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial

Ver en Geogebra

Ecuación vectorial

\[ \overrightarrow{X} = \overrightarrow{O} + \lambda \cdot \overrightarrow{V} \]

\[(x,y) = (o_1, o_2) + \lambda \cdot (v_1, v_2)\]

Ecuación paramétrica

Separamos las componentes x e y del vector.

\[\begin{cases} x = o_1 + \lambda \cdot v_1\\ y = o_2 + \lambda \cdot v_2 \end{cases} \]

Ecuación continua

Despejamos \[\lambda\] en cada ecuación e igualamos

\[ \frac{x - o_1}{v_1} = \frac{y - o_2}{v_2} \]

Ecuación general o implícita

Pasamos todos los términos a un miembro de la ecuación.

\[ Ax + By + C = 0 \]

Ecuación explícita

Despejamos y

\[y = m \cdot x + n \]

Calcula la ecuación vectorial, la paramétrica, la continua la implícita y la explicíta de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienes el vector director dado:

  • a \[ A(3,4) \] y \[\overrightarrow{u}(-1,3)\]
  • b \[ B(1,3) \] y \[\overrightarrow{u}(2,2)\]
  • c \[ C(0,4) \] y \[\overrightarrow{u}(1,0)\]
  • d \[ D(2,1) \] y \[\overrightarrow{u}(-1,-2)\]

Calcula la ecuación vectorial, la paramétrica, la continua la implícita y la explicíta de las rectas que pasan por los siguientes puntos:

  • a \[ A(3,4) \] y \[ B(2,1)\]
  • b \[ A(1,4) \] y \[B(-1,3)\]
  • c \[ A(2,7) \] y \[B(2,10)\]
  • d \[ A(1,0) \] y \[B(5,8)\]

Pendiente de una recta

\[m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} = \frac{v_2}{v_1}\]

Ecuación punto-pendiente

Recta que pasa por O(x_0, y_0)

\[y - y_0 = m \cdot (x-x_0)\]

Indica la pendiente de las rectas calculadas en el ejercicio anterior.

Calcula la ecuación punto pendiente de las siguientes rectas:

  • a Recta que pasa por \[ A(2,1) \] y \[ B(3,7)\]
  • b Recta que pasa por \[ A(2,3) \] y tiene por vector director \[\overrightarrow{v}(1,2)\]
  • c \[ A(2,7) \] y \[B(2,10)\]
  • d La recta dada en foram implícita: \[3x -2y + 1 = 0\]