Tema 4

Ecuaciones

Concepto de ecuación

Partes de una ecuación

1Indica los miembros, términos y el grado de las siguientes ecuaciones:

  • a \[ x^3 + 2 = 4x^2 \]
  • b \[ x + 3 = 5 \]

Solución de una ecuación

2Comprueba si \[ x = 2 \] es solución de las siguientes ecuaciones:

  • a \[ x^2 - 2x = 12 - 6x \]
  • b \[ x^2 + 3 = 2x \]

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienes el mismo conjunto de soluciones.

Ecuaciones de 1er grado

Pueden tener:

  • Una solución
  • Infinitas soluciones
  • Ninguna solución

Pasos:

  1. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  2. Reducir términos semejantes.
  3. Despejar la incógnita.
  4. Comprobar la solución.

3Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con incógnitas ambos miembros miembro)

  • a \[ 9x + 2 - 13x + 20 = 30 - 6x + 4 \]
  • b \[ 3x + 8 - x = 2 + 2x + 6 \]

Pasos:

  1. Eliminar paréntesis.
  2. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  3. Reducir términos semejantes.
  4. Despejar la incógnita.
  5. Comprobar la solución.

4Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con paréntesis)

  • a \[ 8(x+ 2) - 2(3 - x) = 6x + 4(x + 1) + 20 \]
  • b \[ 6(x-3) - (x + 2) = 4(2x - 1) - 3(x+1) \]
  • c \[ -2(4x - 1) + 4(5x+3) - (4-x) = 4(3x+1) + 2 - (-2x + 7) \]
  • d \[ 2(x+3) -3(2x-1) +15 = 1 - (-4x + 2) - 3(x+1) \]

Pasos:

  1. Suprimir los denominadores de todos los términos.
  2. Eliminar paréntesis.
  3. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  4. Reducir términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita.
  6. Comprobar la solución.

5Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con denominadores)

  • a \[ \frac{x}{2} + 3(x + 2) = \frac{x + 1}{3} - 2 \]
  • b \[ \frac{3(2x-3)}{2} - \frac{2(x-2)}{5} - 1 = -\frac{2}{5} - \frac{x}{2} \]
  • c \[ \frac{5}{8} - \frac{7(x-2)}{10} = \frac{7}{4} - \frac{3(1-x)}{20} \]
  • d \[ \frac{2(x+1)}{3} - \frac{3(2x-1)}{4} = 2 - \frac{5(x-2)}{6} \]

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado:

Pueden tener
  • Dos soluciones
  • Una solución
  • Ninguna solución
  • Infinitas soluciones

Ecuaciones de la forma (ax^2 + c = 0)

Despejamos x^2 y calculamos la raíz cuadrada (si es posible).

6Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + c = 0\])

  • a \[ x^2 - 4 = 0 \]
  • b \[ 2x^2 - 3 = x^2 + 13 \]

Ecuaciones de la forma (\[ax^2 + bx = 0\])

Sacamos factor común \[x\] y resolvemos las ecuaciones de primer grado de cada uno de los factores igualadas a cero.

7Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + bx = 0\])

  • a \[ 6x^2 - 3x = 0 \]
  • b \[ x^2 + 2x = 3x \]

Ecuaciones de segundo grado completas (\[ ax^2 + bx + c = 0 \])

Fórmula general

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

8Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general:

  • a \[ x^2 + x -12 = 0 \]
  • b \[ 4x^2 - 20x + 25 = 0 \]
  • c \[ 6x^2 - 7x - 3 = 0 \]
  • d \[ x^2 - 16 = 0 \]

9Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando el método que creas conveniente:

  • a \[ 2x^2 + 3x + 9 = x^2 - 3x \]
  • b \[ 4x^2 + 5x + 8 = 2(x^2 + 4) \]
  • c \[ 3x^2 + 3 +2x = 2 (x + 1) \]
  • d \[ (x-2)(x+3) = 0 \]

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de la forma \[ax^4 + bx^2 + c = 0 \]
Pueden tener:
  • Infintas soluciones.
  • De 4 a 1 soluciones
  • Sin solución.
Las resolvemos haciendo el cambio de variable \[y = x^2\] y resolviendo la ecuación de segundo grado.

10Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

  • a \[ x^4 - 34x^2 + 225 \]
  • b \[ 81x^4 - 45x + 4 = 0 \]
  • c \[ x^4 - 17x^2 + 16 = 0 \]
  • d \[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \]

Ecuaciones por factorización

11Resuelve las siguientes ecuaciones factorizando:

  • a \[ 2x^3-14x-12 = 0 \]
  • b \[x^4+x^3+8 = 6x^2 + 4x \]
  • c \[x^6-4x^5+x^4 +3 = 3-6x^3 \]
  • d \[2x^4-6x^3+24x + 7 = 3 + 2 (4x^2 + 2) \]

Ecuaciones racionales

12Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

  • a \[ \frac{x-1}{x+1} = \frac{x-3}{x+3} \]
  • b \[ \frac{2x-1}{x^2 - 1} = \frac{2x + 5}{x^2+2x+1} \]
  • c \[\frac{1-x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x}{x-2} + \frac{x+3}{x+1} \]
  • d \[ \frac{x+1}{x(x-1)} + \frac{x+4}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{x} - \frac{x+2}{x(x+1)} \]
  • e \[ \frac{x-1}{x(x-3)} + \frac{x+1}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x(x+2)} - \frac{x-13}{(x-3)(x+2)} \]
  • f \[ \frac{3x - 14}{(x-1)(x+2)} - \frac{x+1}{(x-1)^2} = \frac{2x-1}{x+2} - \frac{2x+1}{x-1} \]
  • g \[ \frac{-x-2}{x^2 -1} - \frac{2x+3}{x^2+x} = \frac{3x+4}{x^2-x} - \frac{2x-1}{x^2-1} \]
  • h \[ \frac{x+1}{x^2-x-6} - \frac{x-1}{x^2+4x+4} = \frac{x-1}{x^2-3x} \]

Ecuaciones con radicales

13Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales:

  • a \[ \sqrt{x-1} + x = 3 \]
  • b \[ 2 - \sqrt{x} = x \]
  • c \[ 1 + 2\sqrt{6x-8} = 2x \]
  • d \[ x = 3 - \sqrt{2x^2 - 9} \]
  • e \[ \sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} = 1 \]
  • f \[ \sqrt{x-1} - \sqrt{x-5} = 2 \]
  • g \[ \sqrt{x} - \sqrt{x-1} = x \]
  • h \[ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 5 \]

Inecuaciones

Que es una inecuación?

Solución de una inecuación

Inecuaciones de primer grado

14Resuelve las siguientes inecuaciones:

  • a \[ 2x +8 \ge 20 \]
  • b \[ -4x + 10 \le -6x \]
  • c \[ 3x + 5 \le -30 \]
  • d \[ 6x \gt 4x +14 \]
  • e \[ 2x + 5 -3x +1 \ge 4x -3 +3x -7 \]
  • f \[ 3(2x-1) - 4(3x + 2) < 5(8-3x) \]
  • g \[ 7 +4(3-2x) - (2x-3) \le 3(2x+6) - 2(-x+7) \]
  • h \[ 6(2x+1) - 3x + 2(4x - 5) \gt -1 + 2(x-4) \]

Inecuaciones de segundo grado

15Resuelve las siguientes inecuaciones:

  • a \[ (3-x)(x+5) \gt 0 \]
  • b \[ (x+5)(x-2) \lt 0 \]
  • c \[ (4x -1)(x+3) \ge 0 \]
  • d \[ x (x+1) \gt 0 \]
  • e \[ x^2 - x -20 \le 0 \]
  • f \[ -x^2 -2x + 8 \lt 0 \]
  • g \[ x^2 -3x -10 \ge 0 \]
  • h \[ x^2 +x \gt 2 \]