Tema 4: Polinomios

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones.
Variables/incógnitas
Las letras
Valor numérico
Resultado de substituir una variable por un número en una expresión algebraica.

Enunciado: El doble de un número más uno

Expresión algebraica: \[ 2x + 1 \]

Valor númerico con si el número es 2: \[2 \cdot 2 + 1 = 5\]

1Indica la expresión algebraica que corresponde con los siguientes enunciados y calcula su valor numérico cuando \[ x=5 \]

  • a El triple de un número.
  • b La mitad de un número.
  • c Un número disminuido en 5 unidades.
  • d El doble de un número más uno.
  • e Si x es la edad de una persona, la edad que tendrá dentro de 5. años

2Crea un enunciado que se corresponda con las siguientes expresiones algebraicas y calcula el valor de estas expresiones cuando \[x = 3\]:

  • a \[ 2x + 3 \]
  • b \[ x^3 \]
  • c \[ (x+3)^2 \]
  • d \[ x^2 + x \]
  • e \[ \sqrt{3x} + 3 \]

Monomios

Expresión alxebraica formada por un producto de números e letras.

Partes de un monomio

3Indica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes monomios:

  • a \[ 3x^3y \]
  • b \[ -7x^2yz \]
  • c \[ \sqrt{7}x^3y^3 \]
  • d \[ \frac{2}{3}x^5y^4 \]

Monomios semejantes

Aquellos que tienen la misma parte literal

Ejemplo: \[4x^2y\] y \[20x^2y\] son semejantes

4Agrupa los monomios semejantes:

  • \[3x^2 \]
  • \[4x^2 \]
  • \[5x^2y \]
  • \[3x^3y^2 \]
  • \[12x^2 \]
  • \[3x^2y \]
  • \[8x^3y^2 \]
  • \[9x^3 \]
  • \[x^2 \]
  • \[\frac{1}{2}x^3 \]
  • \[x^2y \]

Operaciones con monomios: suma/resta

Solo podemos sumar/restar los monomios semejantes

\[ 4x^3y - 6x^3y + 5x^3y = (4-6+5) x^3 y = 3x^3y \]

5Simplifica sumando o restando los siguientes monomios:

  • a \[ 2x^2 + 4x^3 - 5x^2 + 8x^3 + 3xy \]
  • b \[ \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + x^3 - x^2 \]
  • c \[ 3xy + 5x^2 - 3xy + 6x^3 - 4x^2 \]

Ops. con monomios: multiplicación división

NO hace falta que sean semejantes.

Multiplicamos/dividimos coeficiente y parte literal.

\[ 4x^2y \cdot 3x^3yz = (4 \cdot 3)x^{2+3}y^{1+1}z = 12x^5y^2z \]

6Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios:

  • a \[ 7x^2 \cdot 2x \cdot (-3x) \]
  • b \[ 6x^2y \cdot 5x \cdot 9y^2z \]
  • c \[ \frac{9x^2y \cdot 6x^3y^5}{18x^2y^2} \]

Polinomio

Es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios.

Partes de un polinomio

7 Indica cuales son los términos, el término independiente (si tiene) y el grado de los siguientes polinomios. Calcula su valor numérico para \[x=3\].

  • a \[ -5x^3 + 3x^2 - 2 \]
  • b \[ 5x + x^4 - 3 \]
  • c \[ 8 - 3x +x^3 \]

Ops. con polinomios: suma, resta y producto por escalar

  • \[(x^2 + 3) + (x^3 + 2x^2) = x^2 + 3 + x^3 + 2x^2 = \\ = x^3 + 3x^2 + 3\]
  • \[(x^2 + 3) - (x^3 + 2x^2) = x^2 + 3 - x^3 -2x^2 = \\ = -x^3 -x^2 + 3\]
  • \[2 \cdot (x^2 + 3) = 2x^2 + 6\]

8Dados los polinomios \[P(x) =4x^3 + 5x - 2\], \[Q(x)= 3x^2 +6x - 4\] y \[R(x) = x^4 - 2x^3 -x^2\], calcula:

  • a \[P(X) - 2Q(x)\]
  • b \[3R(X) + P(x)\]
  • c \[-2R(x) - Q(x)\]
  • d \[Q(X) + 2P(X) - 3R(X)\]

Producto de polinomios

\[ (3a) \cdot (2x + 3y + 5z) = 6ax + 9ay + 15az\]

9 Resuelve las siguientes multiplicaciones de un monomio por un polinomio:

  • a \[(2x^3) \cdot (x^5 + 3x^2 + 4) \]
  • b \[(3x^2) \cdot (10x^2 + 2x - 5) \]
  • c \[(8x^3) \cdot (5x^3 - 4x^2 + 6x) \]

\[(2a + 3b) \cdot (x + y + z) = \\ = 2a \cdot (x+ y + z) + 3b \cdot (x+ y + z)\]

10Resulve las siguientes multiplicaciones de polinomios:

  • a \[(x^2 + 3x - 5) \cdot (3x+2) \]
  • b \[(2x^2 - x + 5) \cdot (-x+3) \]
  • c \[(-4x + 1) \cdot (2x^2 + 3x - 5) \]
  • d \[(2x - 4) \cdot (3x^2 - 3x + 1) \]

Potencia de polinomios

\[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \] \[ (x^2 + x)^3 = (x^2 + x) \cdot (x^2 + x) \cdot (x^2 + x) \]

11Calcula las siguientes potencias de polinomios:

  • a \[(x^2 + 3)^2 \]
  • b \[(3x + 5)^3 \]
  • c \[(x^4 + 3x)^2 \]

Identidades notables

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a + b) (a - b) = a^2 - b^2 \]

12Calcula usando igualdades notables:

  • a \[(x + 3)^2 \]
  • b \[(x^3 - 3x)^2 \]
  • c \[(x+4) \cdot (x-4) \]
  • d \[(5xy + 4y) \cdot (5xy - 4y) \]

Sacar factor común

\[ (2x) \cdot (3xy + 7x^2) = 6x^2y + 14x^3 \]

\[ 6x^2y + 14x^3 = (2x) \cdot (3xy + 7x^2) \]

13Saca factor común en los siguientes polinomios:

  • a \[6x^4 + 12x^3 - 8 x^2 \]
  • b \[-6x^3y - 9x^3y^2 + 15x^2y^2 - 3x^2y \]
  • c \[x^3yz^2 + x^2y^3z^2 \]
  • d \[-12ab^3c - 9b^3c^3 - 15b^2c^2d \]
  • e \[2x^3yz - 3x^2y^2z + x^2yz^3 + x^2yz - x^4y^2z^2 \]

División de polinomios

14Realiza la división en caja de \[3278 : 41\]

ERealiza las siguientes divisiones de polinomios:

  • a \[(2x^2 + 3x + 4) : (x - 1) \]
  • b \[(2x^3 + 3x + 4) : (x + 2) \]
  • c \[(5x^4 + 3 x^2 + 4x - 5) : (x^2 - 1) \]

15Realiza las siguientes divisiones de polinomios:

  • a \[(3x^5 - 4x^3 + 2x - 3) : (x^2 + 2x - 3) \]
  • b \[(6x^6 + 5x^5 - 3x^3 + 2x - 1) : (2x^2 - 1) \]
  • c \[(x^5 + 1) \cdot (x^3 + x^2 + 2x - 5) \]
  • d \[(3x^6 - 5x^5 + 4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + 2) : (3x^2 - x + 2) \]

16Realiza la división \[(4x^3 + 3x + 5) : (x - 4) \]

Método de Ruffini

17Realiza las siguientes divisiones usando el método de Ruffini:

  • a \[(3x^3 - 2x + 5) \cdot (x-5) \]
  • b \[(-x^6 + x^5 - 3x^3 + 2x + 1) \cdot (x+2) \]
  • c \[(4x^2 + 3x^3 - x^2 - x + 1) \cdot (x + 5) \]
  • d \[(x^4 + 2x^2 - 3) \cdot (x - 2) \]