Matemáticas - 3º ESO

Tema 3: Sucesiones y progresiones

Sucesión

Conjunto ordenado de números reales.

\[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,\dots\]

Término: cada uno de los números reales.

\[a_i\]: término en la posición \[i\].

\[\{a_n\} = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,\dots\]

\[a_1 = 2; a_3 = 6; a_4 = 8 \]

1 Di cuales son los términos \[a_1\], \[a_3\] y \[a_6\] de las siguientes sucesiones:

a \[ \{a_n\} = 6, 7, 8, 9, 10,\dots \]
b \[ \{b_n\} = 0, -2, -4, -6, -8,\dots \]
c \[ \{c_n\} = 1; 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001,\dots \]
d \[ \{d_n\} = -1, -1, -1, -1, -1, -1,\dots \]
e \[ \{e_n\} = -2, -4, -8, -16, -32,\dots \]

Término general

Expresión algebraica que nos permite determinar cualquier término de una sucesión.

\[ a_n = 3n + 5\]

2 Calcula los términos \[a_4\], \[a_8\] y \[a_13\] de las sucesiones dadas por los siguientes términos generales:

a \[ a_n = n + 3 \]
b \[ a_n = n^2 - 9 \]
c \[ a_n = \frac{n}{2} \]
d \[ a_n = \frac{n+5}{n+2} \]

3Escribe el término general de las siguientes sucesiones:

a \[ 3, 6, 12, 24, \dots \]
b \[ 4, 6, 8, 10, \dots \]

Sucesion recurrente

El valor de un término dado depende del anterior o anteriores.

\[ a_n = a_{n-1} + 4; a_1 = 3 \]

\[ \{a_n\} = \{ 3, 7, 11, 15, \dots \} \]

4Indica los primeros 8 términos de las siguientes sucesiones recurrentes:

a \[a_n = 2\cdot a_{n-1}\] con \[a_1 = 3\]
b \[a_n = 3 - a_{n-1}\] con \[a_1 = 10\]
c \[a_n = 2\cdot a_{n-1} + 5\] con \[a_1 = 1\]
d \[a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\] con \[a_1 = 1\] y \[a_2 = 1\]

Progresiones aritméticas

Cada término se obiene a partir del anterior sumándole un número fijo \[d\], llamado diferencia.

\[a_n = a_{n-1} + d \]

Progresiones aritméticas

La resta de dos términos consecutivos es constante:

\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_ 3 = a_ 5 - a_ 4 = \dots = d\]

5 Indica si las siguientes sucesiones son aritméticas:

a \[-10, -20, -40, -80, \dots\]
b \[-4, 0, 4, 8, \dots\]
c \[ \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \dots \]
d \[6, 9, 15, 24, 39 \]

6Indica los 5 primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas:

a El primer término es 1 y la diferencia 4.
b El primer término es 5 y la diferencia -2.

Término general de una progresión aritmética

\[a_1 = 2 \]

\[a_2 = 5 \]

\[a_3 = 8 \]

\[a_4 = 11 \]

\[a_5 = 14 \]

\[a_6 = 17 \]

Término general de una progresión aritmética

\[ a_n = a_1 + d \cdot (n-1) \]

\[a_1 \rightarrow \text{primer término}\]

\[d \rightarrow \text{diferencia}\]

7Indica la diferencia y el primer término de las siguientes progresiones aritméticas:

a \[ a_n = 5n - 11 \]
b \[a_n = 4n - 5 \]
c \[a_n = \frac{n+1}{2} \]
d \[ a_n = -6n +1 \]

7Indica el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a \[ a_1 = 3 \text{ y } d=4 \]
b \[ a_1 = 20 \text{ y } d=-3 \]
c \[ a_1 = 0 \text{ y } d=5 \]
d \[ a_1 = 31 \text{ y } d=-1 \]

Término general cuando no conocemos \[a_1\] o \[d\]

Sistemas de ecuaciones
Fórmula general: \[a_p = a_q + d \cdot (p - q)\]

8 Calcula el término general de las siguientes sucesiones:

a \[ a_4 = 12 \text{ y } a_7 = 21 \]
b \[ a_6 = -8 \text{ y } a_{13} = 34 \]
c \[ a_5 = -60 \text{ y } a_{11} = 60 \]
d \[ a_4 = 3 \text{ y } a_{20} = 83 \]

Suma de los \[n\] primeros términos

\[S_n = (a_1 + a_n) \cdot \frac{n}{2}\]

9 Calcula la suma de los 25 primeros términos de las siguientes progresiones:

a \[ 2, 6, 10, 14, \dots \]
b \[ 50, 40, 30, 20, 10, \dots \]
c \[ 1, 7, 13, 19, \dots \]
d \[ -12, -19, -6, -3, \dots \]

Progresiones geométricas

Cada término se obiene a partir del anterior multiplicando un número fijo \[r\], llamado razón.

\[a_n = a_{n-1} \cdot r \]

Progresiones geométricas

El cociente de dos términos consecutivos es constante:

\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \frac{a_5}{a_4} = \dots = r\]

10 Indica si las siguientes sucesiones son geométricas:

a \[5, -1, \frac{1}{5}, \frac{-1}{25}, \frac{1}{125} \dots\]
b \[1, 8, 27, 64, 125, 216 \dots\]
c \[ \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}, 3 \dots\]
d \[ 2, 4, 6, 8, 10 \dots\]

11Indica los 5 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas:

a El primer término es 1 y la razón 2.
b El primer término es 5 y la razón 0'5.

Término general de una progresión geométrica

\[a_1 = 2 \]

\[a_2 = 6 \]

\[a_3 = 18 \]

\[a_4 = 54 \]

\[a_5 = 162 \]

Término general de una progresión geométrica

\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

\[a_1 \rightarrow \text{primer término}\]

\[r \rightarrow \text{razón}\]

12Indica el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a \[ a_1 = 3 \text{ y } r = 2 \]
b \[ a_1 = 2 \text{ y } r=\sqrt{3} \]
c \[ a_1 = 5 \text{ y } r=\frac{1}{2} \]
d \[ a_1 = 30 \text{ y } r= 0.1 \]

Término general cuando no conocemos \[a_1\] y \[r\]

Fórmula general: \[a_p = a_q \cdot r^{p - q}\]

13 Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a \[ a_3 = 8 \text{ y } a_5 = 32 \]
b \[ a_7 = 128 \text{ y } a_{10} = 16 \]
c \[ a_{11} = 5 \text{ y } a_{15} = 405 \]
d \[ a_{12} = 4 \text{ y } a_{17} = -4 \]

Suma de los \[n\] primeros términos

\[S_n = \frac{a_{n+1} - a_1}{r-1} = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r-1}\]

14 Calcula la suma de los 10 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas:

a \[ 1, 5, 25, 125, 625 \dots \]
b \[ 2, 6, 18, 54, 162 \dots \]
c \[ 4, 2, 1, \frac{1}{2} \dots \]
d \[ 9, 6, 4, \frac{8}{3} \dots \]

Suma infinitos términos (\[|r| \lt 1\])

\[S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}\]

15Calcula, si es posible, la suma de todos los términos de las siguientes progresiones geométricas:

a \[ 2, 4, 8, 16 \dots \]
b \[ 10, 5, 2'5, 1'75 \dots \]
c \[ 8, 0'8, 0'08, 0'008 \dots \]

Interés Compuesto

\[ C_f = C_i \cdot (1 + \frac{r}{100})^t \]

16Calcula el capital final que obtenemos despues de invertir durante 8 años en las siguientes condiciones:

a 1000€ con un interés compuesto del 4%
b 2000€ con un interés compuesto del 8%
c 1500€ con un interés compuesto del 9%