Tema 2: Potencias y radicales

Definición de potencia

\[ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \]

\[ 2^1 = 2 \]
\[ 2^0 = 1 \]

Potencia de exponente negativo

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

\[ 2^{-1} = \frac{1}{2} \]

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

Operaciones con potencias

\[ a^p \cdot a^q = a^{p+q} \]

\[ a^p : a^q = a^{p-q} \]

\[(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p\]

\[(\frac{a}{b})^p = (a : b)^p = a^p : b^p = \frac{a^p}{b^p} \]

\[ (a^p)^q = a^{p \cdot q} \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • a \[ 2^3 \cdot 2^4\] \[ = 2^7 \]
  • b \[ 2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^5\] \[ = 2^{12} \]
  • c \[ 3^1 \cdot 3^5 \cdot 3^{-2} \] \[ = 3^4 \]
  • d \[ 3^2 \cdot 3^{-2} \] \[ = 3^0 = 1 \]
  • e \[ 7^3 : 7^2 \] \[ = 7^1 = 7 \]
  • f \[ 7^3 : 7 \] \[ = 7^2 \]
  • g \[ 7^3 : 7^{-4} \] \[ = 7^7 \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • h \[ \frac{7^3}{7^2} \] \[ = 7^1 = 7 \]
  • i \[ \frac{7^3}{7^{-5}} \] \[ = 7^8 \]
  • j \[ (2^3)^7 \] \[ = 2^{21} \]
  • k \[ (2^{-4})^2 \] \[ = 2^{-8} \]
  • l \[ ((2^3)^5)^{-2} \] \[ = 2^{-30} \]
  • m \[ (2 \cdot 3)^3 \] \[ = 2^3 \cdot 3^3 \]
  • n \[ (2 \cdot 3)^3 \cdot 2^2 \] \[ = 2^5 \cdot 3^3 \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • ñ \[ (2 \cdot 7)^3 \cdot 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \] \[ = 2^6 \cdot 5^2 \cdot 7^4 \]
  • o \[ (2 \cdot 7)^3 \cdot (3 \cdot 7)^4 \] \[ = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7^7 \]
  • p \[ (2^2 \cdot 7)^3 \cdot 7^4 \] \[ = 2^6 \cdot 7^7 \]
  • q \[ (3^4 \cdot 5)^4 \cdot (2 \cdot 5^2)^3 \] \[ =2^3 \cdot 3^{16} \cdot 5^{10} \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • r \[ (12)^2 \cdot 2^3 = (2^2 \cdot 3)^2 \cdot 2^3 \] \[ = 2^7 \cdot 3^2 \]
  • s \[ 12^3 \cdot 63^2 \]
  • t \[ 24^2 \cdot 8^3 \cdot 10^2 \]
  • u \[ 40^2 \cdot (15)^3 \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • v \[ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3}{3^4 \cdot 5^6 \cdot 2^5} \]
  • w \[ \frac{12^2 \cdot 15^3}{16 \cdot 25^2 \cdot 9} \]
  • x \[ \frac{36^2 \cdot 25}{15 \cdot 8^3} \]
  • y \[ \frac{12 \cdot 90^3}{40^4 \cdot 16} \]

1 Realiza las siguientes operaciones con potencias (cont.):

  • z \[ \frac{(-2)^3 \cdot 12^2}{(-3)^2} = \]
  • a2 \[ \frac{(-2)^3 \cdot 3^2 \cdot (-5)^3}{(-3)^5 \cdot 2^7} = \]
  • b2 \[ \frac{11^3 \cdot (-15)^6 \cdot 10}{21^3 \cdot (-25)^2} = \]
  • c2 \[ \frac{(-30)^2 \cdot 5^2 \cdot 27^3}{3^5 \cdot (-25)^5} = \]

Notación científica

Notación científica

2 Escribe los siguientes números en notación científica:

  • a \[ 567000000 \]
  • b \[ 842300000000 \]
  • c \[ 493000000 \]
  • d \[ 0,0000040435 \]
  • e \[ 0,003000234 \]
  • f \[ 0,00000032453 \]

2 Escribe los siguientes números en notación científica (cont.):

  • g \[ 0.0567 \cdot 10^3 \]
  • h \[ 84.324 \cdot 10^{-4} \]
  • i \[ 67 \cdot 10^3 \]

Lunes, 4 de noviembre

Operaciones con números en notación científica

Mismo exponente

\[ 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^2 \] \[= 300 + 200 \]

\[ = 5 \cdot 10^2\] \[= 500 \]

\[ 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 \] \[= 300 + 20 \]

\[ = 30 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^1 = \]

\[ = 32 \cdot 10^1 = 3.2 \cdot 10^2\]

3 Calcula el número que colocar en los siguientes huecos:

  • a \[ 6.342 \cdot 10^4 \] = _____ \[ \cdot 10^2 \]
  • b \[ 8.452 \cdot 10^{-2} \]= _____ \[ \cdot 10^1 \]
  • c \[ 3.43 \cdot 10^{-3} \]= _____ \[ \cdot 10^2 \]
  • d \[ 4.234 \cdot 10^5 \]= _____ \[ \cdot 10^3 \]

4 Realiza las siguientes operaciones con números en notación científica:

  • a \[ 6.342 \cdot 10^4 + 5.34 \cdot 10^{-1} \]
  • b \[ 8.452 \cdot 10^{-6} - 7.24 \cdot 10^{-8} \]
  • c \[ 3.43 \cdot 10^3 + 2.45 \cdot 10^{-2} \]
  • d \[ 4.234 \cdot 10^7 - 3.45 \cdot 10^5 \]

Miércoles, 6 de noviembre

5 Realiza las siguientes operaciones con números en notación científica:

  • e \[ 6.342 \cdot 10^4 \cdot 5.34 \cdot 10^{-1} \]
  • f \[ 8.452 \cdot 10^{-6} \cdot 7.24 \cdot 10^{-8} \]
  • g \[ 3.43 \cdot 10^3 : 2.45 \cdot 10^{-2} \]
  • h \[ 4.234 \cdot 10^7 : 3.45 \cdot 10^5 \]

Operaciones con fracciones con la calculadora

Fracciones propias/impropias - Número mixto

Propia) \[ \frac{2}{5} \]

Impropia) \[ \frac{4}{3} \]

Número mixto) \[ 1 + \frac{1}{3} \]

R1 Realiza las siguientes operaciones con fracciones usando la calculadora:

  • a \[ \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{6} \]
  • b \[ \frac{3}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \]
  • c \[ (\frac{3}{2} - \frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{6} \]
  • d \[ \frac{7}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} \]

Jueves, 8 de noviembre

Raíces

\[ \sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a \]

\[ \sqrt{9} = 3 \iff 3^2 = 9 \]

\[ \sqrt[3]{8} = 2 \iff 2^3 = 8 \]

...

6 Calcula sin usar la calculadora:

  • a \[ \sqrt{9} \]
  • b \[ \sqrt{25} \]
  • c \[ \sqrt{49} \]
  • d \[ \sqrt{0} \]
  • e \[ \sqrt{1} \]
  • f \[ \sqrt{0.25} \]
  • g \[ \sqrt[4]{16}\]
  • h \[ \sqrt[3]{8}\]
  • i \[ \sqrt[3]{27}\]

Propiedades

7 Simplifica las siguientes expresiones usando las propiedades de las raíces:

  • a \[ 3\sqrt{7} + 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} \]
  • b \[ 4\sqrt[3]{10} \cdot 3 \sqrt[3]{2} \]
  • c \[ 8 \sqrt[3]{9} : 2 \sqrt[3]{3} \]
  • c \[ \sqrt[3]{\sqrt{4}} \]

Extraer factores de raíces

\[ \sqrt[3]{2^7 \cdot 3^6} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt[3]{2^1\cdot 3^0} \]

8 Extraer factores:

  • a \[ \sqrt{2^3} \]
  • b \[ \sqrt{2^3 \cdot 7^4} \]
  • c \[ \sqrt[3]{2^3 \cdot 5^7} \]
  • d \[ \sqrt[3]{80} \]
  • e \[ \sqrt[3]{200} \]
  • f \[ \sqrt[4]{2500} \]

9 Extrae factores y suma donde sea posible:

  • a \[ 2 \sqrt{8} + 5 \sqrt{72} − 7 \sqrt{18} - \sqrt{50} \]
  • b \[ 3 \sqrt[3]{54} - 2 \sqrt[3]{250} + 4 \sqrt[3]{16} \]

Aproximación de números

10 Aproxima los siguientes números por redondeo y truncamiento:

  • a \[ 9.876 \] (décimas)
  • b \[ 0.973 \] (centésimas)
  • c \[ 2.497 \] (unidades)

Errores absoluto y relativo

\[E_a = |V_{estimado} - V_{real}| \]

\[E_r = \frac{E_a}{V_{real}} = \frac{|V_{estimado} - V_{real}|}{V_{real}} \]

11 Calcula el error absoluto y relativo cometido:

  • a Al aproximar \[ 9.876 \] con \[ 9.9 \]
  • b Al aproximar \[ 9.876 \] con \[ 9.8 \]
  • c Al aproximar \[ 9.973 \] con \[ 9.97 \]