Potencias: definición
Una potencia es una forma abreviada de expresar la multiplicación
repetida de un número por sí mismo. Por ejemplo, \(a^n\) significa
que el número \(a\) se multiplica por sí mismo \(n\) veces.
Potencias de exponente negativo
Cuando una potencia tiene un exponente negativo, indica el inverso
del número elevado al exponente positivo: \(a^{-n} =
\frac{1}{a^n}\).
Potencias de base negativa
Cuando la base de la potencia es negativa, el signo del resultado
depende del exponene. Si este es par, el resultado será positivo
mientras que si es impar, el resultado será negativo.
Por otra parte es necesario resaltar que \( -2^4 \neq (-2)^4 \)
1 Indica el valor de las siguientes
potencias:
- \(2^3\)
- \(5^{-2}\)
- \(7^0\)
- \(10^{-3}\)
- \(-5^2\)
- \((-3)^3\)
- \((-7)^2\)
- \((-8)^{-2}\)
Propiedades de las potencias
Las potencias tienen varias propiedades importantes:
- Producto de potencias: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
- Cociente de potencias: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
- Potencia de una potencia: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
-
Potencia de un producto: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
-
Potencia de un cociente: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n =
\frac{a^n}{b^n} \)
2 Simplifica las siguientes
expresiones empleando las propiedades de las potencias:
- \(2^3 \cdot 2^4\)
- \(\frac{5^6}{5^2}\)
- \((3^2)^3\)
- \(\frac{4^5 \cdot 4^{-3}}{4^2}\)
2
- \[ \frac{7^3}{7^2} \]
- \[ \frac{7^3}{7^{-5}} \]
- \[ (2^3)^7 \]
- \[ (2^{-4})^2 \]
- \[ ((2^3)^5)^{-2} \]
- \[ (2 \cdot 3)^3 \]
- \[ (2 \cdot 3)^3 \cdot 2^2 \]
2
- \[ (2 \cdot 7)^3 \cdot 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \]
- \[ (2 \cdot 7)^3 \cdot (3 \cdot 7)^4 \]
- \[ (2^2 \cdot 7)^3 \cdot 7^4 \]
- \[ (3^4 \cdot 5)^4 \cdot (2 \cdot 5^2)^3 \]
3 Factoriza y simplifica las
siguientes expresiones hasta obtener un producto de potencias:
- \[ (12)^2 \cdot 2^3 \]
- \[ 12^3 \cdot 63^2 \]
- \[ 24^2 \cdot 8^3 \cdot 10^2 \]
- \[ 40^2 \cdot (15)^3 \]
3
-
\[ \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3}{3^4 \cdot 5^6 \cdot 2^5} \]
- \[ \frac{12^2 \cdot 15^3}{16 \cdot 25^2 \cdot 9} \]
- \[ \frac{36^2 \cdot 25}{15 \cdot 8^3} \]
- \[ \frac{12 \cdot 90^3}{40^4 \cdot 16} \]
3
- \[ \frac{(-2)^3 \cdot 12^2}{(-3)^2} = \]
-
\[ \frac{(-2)^3 \cdot 3^2 \cdot (-5)^3}{(-3)^5 \cdot 2^7} = \]
-
\[ \frac{11^3 \cdot (-15)^6 \cdot 10}{21^3 \cdot (-25)^2} = \]
-
\[ \frac{(-30)^2 \cdot 5^2 \cdot 27^3}{3^5 \cdot (-25)^5} = \]
4 Indica a qué fracción equivale las
siguientes potencias de fracciones:
-
\(\cfrac{\frac{7}{5} \cdot
\left(\frac{5}{7}\right)^3}{\left(\left(\frac{7}{5}\right)^{-2}\right)^{-4}
\div \left(\frac{5}{7}\right)^4}\)
-
\(\cfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^8}{\left(\frac{2}{3}\right)^4
\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-5}} \)
-
\[\cfrac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3}
\right)^0 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \cdot \left(
\frac{81}{16} \right)^{-2}}{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5}
\cdot \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left[ \left(
\frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \cdot \left( \frac{8}{27}
\right)^3}\]
4
-
\(\cfrac{\left(\frac{4}{9}\right)^3 \cdot
\left(\frac{3}{2}\right)^2}{\left(\frac{4}{9}\right)^{-5} \div
\left(\frac{9}{4}\right)^{-4}}\)
-
\(\cfrac{\frac{6}{7} \cdot
\left(\frac{7}{6}\right)^3}{\left(\left(\frac{6}{7}\right)^{-4}\right)^{-2}
\cdot \left(\frac{7}{6}\right)^5}\)
-
\(\cfrac{\left(\frac{25}{64}\right)^7}{\left(\frac{5}{8}\right)^3
\cdot \left(\frac{8}{5}\right)^{-6}}\)
Radical
El radical de un número indica el valor que, al elevarlo a un
índice dado, resulta en el radicando. Por ejemplo, \(\sqrt[3]{8} =
2\) porque \(2^3 = 8\).
5 Calcula los siguientes radicales:
- \(\sqrt{16}\)
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt[4]{81}\)
- \(\sqrt[5]{32}\)
Potencias de exponente fraccionario
Una potencia con exponente fraccionario se interpreta como un
radical: \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\).
6 Transforma los siguientes
radicales en una potencia de exponente fraccionario y
simplificalos cuando sea posible:
- \(\sqrt[4]{3^2}\)
- \(\sqrt[3]{2^2}\)
- \(\sqrt[4]{9}\)
- \(\sqrt[6]{8}\)
Propiedades de los radicales
Las propiedades de las potencias también se aplican en los
radicales cuando estos se transforman en potencias de exponente
fraccionario. Estas propiedades son:
-
Radical de radical:\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot
n]{a}\)
-
Producto de radicales: \(\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} =
\sqrt[m]{a \cdot b}\)
-
Cociente de radicales: \(\sqrt[m]{\frac{a}{b}} =
\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}\)
- Suma de radicales: \(\sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}\)\
11 Simplifica las siguientes
expresiones usando las propiedades de las raíces:
- \[ 3\sqrt{7} + 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} \]
- \[ 4\sqrt[3]{10} \cdot 3 \sqrt[3]{2} \]
- \[ 8 \sqrt[3]{9} : 2 \sqrt[3]{3} \]
- \[ \sqrt[3]{\sqrt{4}} \]
Reducción a índice común
La reducción a índice común es útil cuando se realizan operaciones
entre radicales con índices diferentes. Consiste en convertir los
radicales a un índice común utilizando el mínimo común múltiplo
(m.c.m.) de los índices:
\(\sqrt[m]{a} \text{ y } \sqrt[n]{b} \Rightarrow
\sqrt[\text{m.c.m.}(m,n)]{a^{n'}} \text{ y }
\sqrt[\text{m.c.m.}(m,n)]{b^{m'}}\)
12 Reduce a índice común las
siguientes raíces y realiza las operaciones:
- \(\sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[3]{4}\)
- \(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{2}\)
- \(\sqrt[2]{7} \cdot \sqrt[5]{3}\)
- \(\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[6]{9}\)
Extracción de factores de la raíz
La extracción de factores consiste en simplificar un radical
extrayendo los factores que tienen exponentes mayores o iguales al
índice fuera de la raíz:
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\), donde si \(m\) es divisible por
\(n\), se puede simplificar el radical completamente.
13 Extrae todos los factores de la
raíz que puedas:
- \[ \sqrt{2^3} \]
- \[ \sqrt{2^3 \cdot 7^4} \]
- \[ \sqrt[3]{2^3 \cdot 5^7} \]
- \[ \sqrt[3]{80} \]
- \[ \sqrt[3]{200} \]
- \[ \sqrt[4]{2500} \]
Introducción de factores en la raíz
La introducción de factores es el proceso inverso a la extracción.
Se utiliza para convertir un número o variable fuera de la raíz en
un exponente dentro de la raíz:
\(a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}\).
14 Introduce los factores en las
raíces:
- \(2 \cdot \sqrt[2]{5}\)
- \(3 \cdot \sqrt[3]{7}\)
- \(4 \cdot \sqrt[4]{9}\)
- \(5 \cdot \sqrt[5]{11}\)
15 Realiza las siguientes
operaciones con radicales:
- \[ 27\sqrt{3} + 5\sqrt{27} - 9\sqrt{12} \]
- \[ \sqrt{75} - \sqrt{20} - \sqrt{12} + \sqrt{45} \]
- \[ 2\sqrt{8} + 5 \sqrt{72} - 7\sqrt{18} - \sqrt{50} \]
-
\[ 5\sqrt{2} + 4\sqrt{8} + 3\sqrt{18} + 2\sqrt{32} + \sqrt{50}
\]
-
\[ \sqrt{128} + 5\sqrt{12} - 2\sqrt{18} - 3\sqrt{27} -
\sqrt[4]{4} \]
Racionalización
La racionalización consiste en eliminar los radicales del
denominador de una fracción. Esto se logra multiplicando numerador
y denominador por el radical adecuado:
\(\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\),
\(\frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}\).
16 Racionaliza las siguientes
expresiones:
- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
- \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
- \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
- \(\frac{4}{\sqrt[4]{8}}\)
Notación científica
La notación científica es una forma de escribir números muy
grandes o pequeños como el producto de un número entre 1 y 10, y
una potencia de 10. Por ejemplo, \(2.5 \cdot 10^3\).
7 Pasa a notación científica los
siguientes números:
- 123000
- 0.00045
- 567890
- 0.0000012
Producto y cociente
Para multiplicar números en notación científica, se multiplican
las bases y se suman los exponentes: \((a \cdot 10^m) \cdot (b
\cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}\). Para dividir, se
dividen las bases y se restan los exponentes: \((a \cdot 10^m) /
(b \cdot 10^n) = (a / b) \cdot 10^{m-n}\).
8 Calcula los siguientes productos y
cocientes de números expresados en notación científica:
- \((2 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^4)\)
- \((6 \cdot 10^5) / (2 \cdot 10^2)\)
- \((1.5 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^6)\)
- \((8 \cdot 10^7) / (4 \cdot 10^3)\)
Suma y resta
Para sumar o restar números en notación científica, deben tener el
mismo exponente de base 10. Si no es así, se ajusta uno de ellos:
\((a \cdot 10^m) + (b \cdot 10^n) = c \cdot 10^m\), donde \(c\) es
el resultado de sumar las bases ajustadas.
9 Calcula las siguientes sumas y
restas de números expresados en notación científica:
- \((2.5 \cdot 10^13) + (3 \cdot 10^10)\)
- \((6 \cdot 10^15) - (4 \cdot 10^13)\)
- \((1.2 \cdot 10^4) + (2.8 \cdot 10^10)\)
- \((7.1 \cdot 10^2) - (3.4 \cdot 10^5)\)