Números racionales

Conjuntos numéricos. Números racionales

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos incluyen los números naturales (\( \mathbb{N} \)), enteros (\( \mathbb{Z} \)), racionales (\( \mathbb{Q} \)), reales (\( \mathbb{R} \)) y complejos (\( \mathbb{C} \)). Cada conjunto incluye a los anteriores.

Números racionales

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos enteros, donde el denominador no es cero. Ejemplo: \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{3}{4} \).

1 Indica a qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números:

  1. \( 5 \)
  2. \( -3 \)
  3. \( \frac{2}{7} \)
  4. \( \sqrt{2} \)

Concepto de fracción y partes

Fracción, numerador y denominador

Una fracción consta de un numerador (parte superior) y un denominador (parte inferior). Representa una división del numerador por el denominador.

2 Indica el numerador y denominador de las siguientes fracciones:

  1. \( \frac{3}{5} \)
  2. \( \frac{7}{8} \)
  3. \( \frac{11}{15} \)
  4. \( \frac{4}{9} \)

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Por ejemplo, \( \frac{1}{2} \) y \( \frac{2}{4} \).

Fracción equivalente irreducible

Una fracción irreducible es aquella que no puede simplificarse más dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD).

3 Calcula la fracción equivalente irreducible de las siguientes fracciones:

  1. \( \frac{8}{12} \)
  2. \( \frac{180}{240} \)
  3. \( \frac{360}{540} \)
  4. \( \frac{144}{432} \)

Pasar a común denominador

Para pasar fracciones a común denominador, busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.

4 Pasa a común denominador los siguientes conjuntos de fracciones:

  1. \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{2}{5} \)
  2. \( \frac{14}{42} \) y \( \frac{15}{70} \)
  3. \( \frac{5}{27} \) y \( \frac{7}{12} \)
  4. \( \frac{9}{30} \) y \( \frac{11}{25} \)

Ordenar fracciones con igual numerador o denominador

Ordenar fracciones con distinto denominador y numerador

Para ordenar estas fracciones tenemos que pasarlas a común denominador

5Ordena los siguientes conjuntos de fracciones:

  1. \( \frac{7}{10}\), \( \frac{4}{10}\) y \( \frac{1}{10}\)
  2. \( \frac{3}{7}\), \( \frac{3}{2}\) y \( \frac{3}{5}\)
  3. \( \frac{4}{10}\), \( \frac{4}{25}\) y \( \frac{12}{15}\)
  4. \( \frac{9}{14}\), \( \frac{15}{21}\) y \( \frac{7}{12}\)

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones, primero asegúrate de que tengan un denominador común. Luego suma o resta los numeradores.

6 Realiza las siguientes sumas y restas con fracciones reducciendo a fracción irreducible al terminar:

  1. \( \frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \)
  2. \( \frac{1}{23} + \frac{1}{16} = \)
  3. \( \frac{19}{42} - \frac{11}{28} = \)
  4. \( \frac{11}{16} - \frac{6}{25} = \)

6

  1. \( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} + \frac{1}{6} = \)
  2. \( \frac{4}{7} + \frac{5}{6} - \frac{9}{5} = \)
  3. \( \frac{10}{11} - \frac{4}{7} + \frac{3}{5} = \)
  4. \( \frac{1}{6} + \frac{8}{3} + \frac{1}{20} = \)

Producto y cociente de fracciones

Para multiplicar fracciones, multiplica numeradores y denominadores. Para dividir, multiplica por el inverso de la segunda fracción.

7 Realiza los siguientes productos y cocientes de fracciones reducciendo a fracción irreducible al terminar:

  1. \( 2 \cdot \frac{5}{20} \)
  2. \( \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \)
  3. \( \frac{-4}{3} \cdot \frac{9}{2} = \)
  4. \( \frac{-3}{5} \cdot \left( \frac{12}{10} \right) = \)

7

  1. \( \frac{21}{4} : (-7) = \)
  2. \( \frac{8}{3} : \frac{16}{9} = \)
  3. \( -\frac{15}{4} : \frac{25}{12} = \)
  4. \( \left(\frac{1}{15} \cdot \frac{5}{4}\right) : \frac{3}{2} = \)

Operaciones combinadas con fracciones

Sigue el orden de operaciones: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas.

8 Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones:

  1. \(\left( 1 - \frac{2}{3} \right) : \left( \frac{1}{2} - 2 \right) + 3 - \frac{1}{5}\)
  2. \(\frac{6}{25} : \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \right) - \frac{7}{15} \right] \)
  3. \( 2 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{3} : \frac{2}{5} - \frac{1}{10} + 3\)
  4. \(\left( \frac{2}{5} : \frac{1}{3} - \frac{6}{5} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} + 1 \right) -1\)

8

  1. \(3 : \left( 1 - \frac{2}{5} \right) - 5 - 2 \left( \frac{3}{4} - 2 \right)\)
  2. \(\left(\frac{1}{2} : \frac{3}{2} - \frac{1}{5} \right) : \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} - 2 \right) + \frac{1}{10}\)
  3. \(\frac{ \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \)
  4. \(\frac{\left( 2 - \frac{3}{2} \right) \cdot \frac{2}{3} + 1}{2 - \frac{1}{2} : \left( \frac{1}{3} - 1 \right)}\)

Problema:

8

  1. \( \cfrac{1 + \frac{2}{3}}{\left( 2 + \frac{1}{4} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} \right)} \)
  2. \( \cfrac{1 - \frac{2}{4} + \frac{5}{2} - \frac{1}{8}}{3 \cdot \left( \frac{2}{3} - 1 \right)}\)

Problemas de fracciones

Números decimales

Números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte fraccionaria separadas por una coma decimal. Ejemplo: \( 2.5 \).

Tipos de números decimales

Existen decimales exactos (como \( 0.75 \)), periódicos puros (como \( 0.\overline{3} \)) y periódicos mixtos (como \( 0.1\overline{6} \)).

7 Indica de qué tipo son los siguientes decimales:

  1. \( 0.5 \)
  2. \( 0.\overline{7} \)
  3. \( 0.12\overline{3} \)
  4. \( \pi = 3.14159265359 \dots \)

Conversión a números decimales

De fracción a decimal

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

8 Transforma las siguientes fracciones a decimal e indica el tipo de decimal que es:

  1. \( \frac{1}{2} \)
  2. \( \frac{1}{3} \)
  3. \( \frac{2}{7} \)
  4. \( \frac{3}{8} \)

De decimal a fracción (decimales exactos)

Para convertir un decimal exacto a fracción, escribe el número como un cociente y simplifica.

9 Transforma los siguientes decimales exactos a fracción:

  1. \( 0.5 \)
  2. \( 0.75 \)
  3. \( 0.25 \)
  4. \( 0.125 \)

De decimal a fracción (decimales periódicos)

Para convertir un decimal periódico a fracción, usa el método algebraico para despejar.

10 Transforma los siguientes decimales periódicos a fracción:

  1. \( 3.\overline{5} \)
  2. \( 0.\overline{23} \)
  3. \( 41.\overline{041} \)
  4. \( 6.2\overline{5} \)
  5. \( 0.00\overline{1} \)
  6. \( 5.0\overline{18} \)
  7. \( 5.\overline{03} \)

11Realiza las siguientes operaciones pasando previamente a fracción:

  1. \(3.5 + 2.\overline{3}\)
  2. \(0.\overline{12} + 0.2\)
  3. \(1.\overline{6} - 1.0\overline{2}\)
  4. \(3.\overline{24} + 7.\overline{6}\)
  5. \(0.\overline{4} + 0.\overline{3} + 0.\overline{2}\)

11

  1. \( \frac{4}{3} - \left(0.75 + 0.\overline{6}\right) + \frac{13}{12}\)
  2. \( \left(\frac{5}{6} + 0.\overline{16} \right) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) - \frac{65}{8} \cdot \left(0.\overline{6} + 0.2 - \frac{1}{3} \right)\)

Problemas con decimales

Aproximación y errores

Aproximación de números decimales

Para aproximar números decimales, redondea según el valor de los dígitos significativos.

12 Aproxima los siguientes números decimales según se indica:

  1. \( 3.14159 \) a dos cifras decimales.
  2. \( 0.45678 \) a tres cifras decimales.
  3. \( 5.6789 \) a la unidad más cercana.
  4. \( 7.89 \) al décimo más cercano.

Error absoluto y Error relativo

El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado. El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor real.

13 Calcula el error absoluto y relativo de los siguientes pares de valores:

  1. Real: \( 3.14 \), Aproximado: \( 3.1 \).
  2. Real: \( 5.67 \), Aproximado: \( 5.7 \).
  3. Real: \( 0.456 \), Aproximado: \( 0.46 \).
  4. Real: \( 2.718 \), Aproximado: \( 2.72 \).