Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuación

Igualdad entre dos expresiones algebraicas

Partes de una ecuación

1Indica los miembros, términos y el grado de las siguientes ecuaciones:

  1. \[ x^3 + 2 = 4x^2 \]
  2. \[ x + 3 = 5 \]
  3. \[ x^2 + 2x = 0 \]

Solución de una ecuación

2Comprueba si \[ x = 2 \] es solución de las siguientes ecuaciones:

  1. \[ x^2 + 2x = 12 + 6x \]
  2. \[ x^2 + 3 = 2x \]
  3. \[ 2x^3 + 4x^2 = 24x + 12x^2 \]
  4. \[ x^3 - 4 = x^2 + 1 \]

Ecuaciones equivalentes

3Calcula la ecuación equivalente a \[ 2x + 4 = 8 \] despues de hacer las isguientes operacioens en los dos lados. Simplifica las expresiones en ambos miembros:

  1. Sumar 2.
  2. Restar 4.
  3. Moltiplicar por dos.
  4. Dividir entre 2.
  5. Elevar a 2.

Ecuaciones de 1er grado

Pueden tener:

  1. Una solución
  2. Infinitas soluciones
  3. Ninguna solución

Pasos:

  1. Reducir términos semejantes.
  2. Despejar la incógnita.
  3. Comprobar la solución.

4Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con incógnitas en un solo miembro)

  1. \[ 3x + 2 = 14 \]
  2. \[ x + 4 - x = 5 \]
  3. \[ 4x + 8 - 5x + 2 = 2 + 6 \]
  4. \[ 7x + 4 - 5x = 0 \]

Pasos:

  1. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  2. Reducir términos semejantes.
  3. Despejar la incógnita.
  4. Comprobar la solución.

5Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con incógnitas ambos miembros miembro)

  1. \[ 9x + 2 - 13x + 20 = 30 - 6x + 4 \]
  2. \[ 3x + 8 - x = 2 + 2x + 6 \]
  3. \[1'2x + 3 - 2'5x + 4'3 = 8'1x - 2'7 \]
  4. \[ 21x + 15 - 13x + 28 = 14x - 12 - 36x - 31 + 28x \]

Pasos:

  1. Eliminar paréntesis.
  2. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  3. Reducir términos semejantes.
  4. Despejar la incógnita.
  5. Comprobar la solución.

6Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con paréntesis)

  1. \[ 8(x+ 2) - 2(3 - x) = 6x + 4(x + 1) + 20 \]
  2. \[ 6(x-3) - (x + 2) = 4(2x - 1) - 3(x+1) \]
  3. \[ -2(4x - 1) + 4(5x+3) - (4-x) = 4(3x+1) + 2 - (-2x + 7) \]
  4. \[ 2(x+3) -3(2x-1) +15 = 1 - (-4x + 2) - 3(x+1) \]

Pasos:

  1. Suprimir los denominadores de todos los términos.
  2. Eliminar paréntesis.
  3. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  4. Reducir términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita.
  6. Comprobar la solución.

7Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con denominadores)

  1. \[ \frac{x}{2} + 3(x + 2) = \frac{x + 1}{3} - 2 \]
  2. \[ \frac{3(2x-3)} - \frac{2(x-2)}{5} - 1 = -\frac{2}{5} - \frac{x}{2} \]
  3. \[ \frac{5}{8} - \frac{7(x-2)}{10} = \frac{7}{4} - \frac{3(1-x)}{20} \]
  4. \[ \frac{2(x+1)}{3} - \frac{3(2x-1)}{4} = 2 - \frac{5(x-2)}{6} \]

8Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con un poco de todo...)

  1. \[ \]
  2. \[ \]
  3. \[ \]
  4. \[ \]

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado:

Pueden tener
  1. Dos soluciones
  2. Una solución
  3. Ninguna solución
  4. Infinitas soluciones

Ecuaciones de la forma (ax^2 + c = 0)

Despejamos x^2 y calculamos la raíz cuadrada (si es posible).

9Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + c = 0\])

  1. \[ x^2 - 4 = 0 \]
  2. \[ 2x^2 - 3 = x^2 + 13 \]
  3. \[ x^2 + 5 = 0 \]
  4. \[ 2x^2 + 4 = x^2 + 4 \]

Ecuaciones de la forma (\[ax^2 + bx = 0\])

Sacamos factor común \[x\] y resolvemos las ecuaciones de primer grado de cada uno de los factores igualadas a cero.

10Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + bx = 0\])

  1. \[ 6x^2 - 3x = 0 \]
  2. \[ x^2 + 2x = 3x \]
  3. \[ 3x^2 - 8x = 2x + x^2 \]
  4. \[ 4x^2 - 10x = 4x - 2x^2 \]

Ecuaciones de segundo grado completas (\[ ax^2 + bx + c = 0 \])

11Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[(dx + e)^2 + c = 0\])

  1. \[ (x + 3)^2 - 4 = 0 \]
  2. \[ (x-2)^2 + 2 = 0 \]
  3. \[ (x+3)^2 - 1 = 3 \]

12Las siguientes expresiones fueron calcoladas a partir de productos notables \[(a+b)^2\] o \[(a+b)(a-b)\]. Calcola cual es la expresión de partida como en el ejemplo:

  1. E \[x^2 + 6x + 9 \] \[ = (x+3)^2\]
  2. \[ x^2 - 14x + 49 \]
  3. \[y^2 - 9 \]
  4. \[4x^2 - 12x + 9 \]

11Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado moviendo primero todos los términos al primer miembro y transformándolo en un producto notable:

  1. \[ x^2 - 14x + 49 = 0 \]
  2. \[ x^2 + 16x = 10x - 9 \]
  3. \[ 2x^2 + 8x + 10 = x^2 - 6 \]

Cuando no es un cuadrado perfecto...

12Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado moviendo primero todos los términos al primer miembro y transformándolo en un producto notable:

  1. \[ x^2 - 14x + 45 = 0 \]
  2. \[ x^2 + 16x = 10x - 5 \]
  3. \[ 2x^2 + 8x + 1 = x^2 - 6 \]

Fórmula general

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

11Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmola general:

  1. \[ x^2 + x -12 = 0 \]
  2. \[ 4x^2 - 20x + 25 = 0 \]
  3. \[ 6x^2 - 7x - 3 = 0 \]
  4. \[ x^2 - 16 = 0 \]

12Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

Ficha

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de la forma \[ax^4 + bx^2 + c = 0 \]
Pueden tener:
  1. Infintas soluciones.
  2. De 4 a 1 soluciones
  3. Sin solución.
Las resolvemos haciendo el cambio de variable \[y = x^2\] y resolviendo la ecuación de segundo grado.

13Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

  1. \[ x^4 - 34x^2 + 225 \]
  2. \[ 81x^4 - 45x + 4 = 0 \]
  3. \[ x^4 - 17x^2 + 16 = 0 \]
  4. \[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \]

14Resuelve las siguientes ecuaciones:

FICHA

Sistema de ecuaciones

Solución de un sistema de ecuaciones

2Comprueba si \[ x = 2 \] y \[ y = 3 \] son soluciones de los siguientes sistemas:

  1. \[ \begin{cases} x+5y = -1 \\ 3x-2y = 14 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 2x+3y = 21 \\ -x + y = 1 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 5x-3y = 1 \\ 4x + y = 11 \end{cases} \]

Método gráfico

Sistema de ecuac. lineales: Las ecuaciones son de primer grado y por lo tanto, si la representamos en un plano de dos dimensiones representan rectas.

Geogebra

  1. Aplicación de escritorio (Portátiles Abalar)
  2. Aplicación web (geogebra.org/graphing)
  3. Aplicación móvil/tablet

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener...

  1. Sin solución (Incompatible)
  2. Una solución (Compatible Determinado)
  3. Infinitas soluciones (Compatible Indeterminado)

3Usando Geogebra, indica el tipo de sistema en cuanto al número de soluciones y su solución en caso e tenerla:

  1. \[ \begin{cases} x+5y = -1 \\ 3x-2y = 14 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 2x+3y = 21 \\ 4x+6y = 10 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 5x-3y = 41 \\ 4x + y = 26 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} -x + 6y = -1 \\ 3x -18y = 3 \end{cases} \]

Método de substitución

4Resuelve los siguientes sistemas por substitución:

  1. \[ \begin{cases} x+5y = -1 \\ 3x-2y = 14 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 2x+3y = 21 \\ -x + y = 2 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 5x-3y = 41 \\ 4x + y = 26 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} -x + 6y = -1 \\ 4x - y = 4 \end{cases} \]

Método de igualación

5Resuelve los siguientes sistemas por igualación:

  1. \[ \begin{cases} 2x+3y = 7 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} -6x + y = 6 \\ 2x - y = -2 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 2x-3y = 13 \\ 4x + y = 5 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} 5x - y = 5 \\ -2x + 3y = -2 \end{cases} \]

Método de reducción

6Resuelve los siguientes sistemas por reducción:

  1. \[ \begin{cases} x+y = 58 \\ 2x+4y = 168 \end{cases} \]
  2. \[ \begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ y - 4x = -2 \end{cases} \]
  3. \[ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 4x - 3y = 17 \end{cases} \]
  4. \[ \begin{cases} -x - 2y = -9 \\ 3x - y = 20 \end{cases} \]

7Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

FICHA

Problemas de ecuaciones y sistemas de ecuacioenes