Tema 6: Ecuaciones

Ecuación

Igualdad entre dos expresiones algebraicas

Partes de una ecuación

1Indica los miembros, términos y el grado de las siguientes ecuaciones:

  • a \[ x^3 + 2 = 4x^2 \]
  • b \[ x + 3 = 5 \]
  • c \[ x^2 + 2x = 0 \]

Solución de una ecuación

Es un valor o conjunto de valores que al substituirlos por las variables en la ecuación cumple la igualdad.

2Comprueba si \[ x = 2 \] es solución de las siguientes ecuaciones:

  • a \[ x^2 + 2x = 12 + 6x \]
  • b \[ x^2 + 3 = 2x \]
  • c \[ 2x^3 + 4x^2 = 24x + 12x^2 \]
  • d \[ x^3 - 4 = x^2 + 1 \]

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución

Podemos crear una ecuaciones equivalente a otra realizando la misma operación en los dos miembros.

3Calcula la ecuación equivalente a \[ 2x + 4 = 8 \] despues de hacer las isguientes operacioens en los dos lados. Simplifica las expresiones en ambos miembros:

  • a Sumar 2.
  • b Restar 4.
  • c Multiplicar por dos.
  • d Dividir entre 2.
  • d Elevar a 2.

Ecuaciones de 1er grado

Pueden tener:

  • Una solución
  • Infinitas soluciones
  • Ninguna solución

Pasos:

  1. Reducir términos semejantes.
  2. Despejar la incógnita.
  3. Comprobar la solución.

4Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con incógnitas en un solo miembro)

  • a \[ 3x + 2 = 14 \]
  • b \[ x + 4 - x = 5 \]
  • c \[ 4x + 8 - 5x + 2 = 2 + 6 \]
  • d \[ 7x + 4 - 7x = 0 \]

Pasos:

  1. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  2. Reducir términos semejantes.
  3. Despejar la incógnita.
  4. Comprobar la solución.

5Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con incógnitas ambos miembros miembro)

  • a \[ 9x + 2 + 20 = 30 + 6x \]
  • b \[ 2x - 12 = 4x + 10 - x \]
  • c \[ 6x - 3 = 6x + 1 \]
  • d \[ 3x + 4 - x = 2 + 2x + 2 \]

Pasos:

  1. Eliminar paréntesis.
  2. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  3. Reducir términos semejantes.
  4. Despejar la incógnita.
  5. Comprobar la solución.

6Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con paréntesis)

  • a \[ 3(x+3) - 6 = 9 \]
    • b \[ 6 - (x + 2) = 4 \]
  • c \[ 4x - 4(2x-3) = 8 + 4x \]
  • d \[ 2(x - 4) - (x + 4) = 3x - 5 \]

7FICHA

Pasos:

  1. Suprimir los denominadores de todos los términos.
  2. Eliminar paréntesis.
  3. Mover todos los términos con incógnitas a uno de los miembros.
  4. Reducir términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita.
  6. Comprobar la solución.

7Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado (con denominadores)

  • a \[ \frac{x}{2} + 3(x + 2) = \frac{x + 1}{3} - 2 \]
  • b \[ \frac{3(2x-3)} - \frac{2(x-2)}{5} - 1 = -\frac{2}{5} - \frac{x}{2} \]
  • c \[ \frac{5}{8} - \frac{7(x-2)}{10} = \frac{7}{4} - \frac{3(1-x)}{20} \]
  • d \[ \frac{2(x+1)}{3} - \frac{3(2x-1)}{4} = 2 - \frac{5(x-2)}{6} \]

8FICHA

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado:

Pueden tener
  • Dos soluciones
  • Una solución
  • Ninguna solución
  • Infinitas soluciones

Ecuaciones de la forma (ax^2 + c = 0)

Despejamos x^2 y calculamos la raíz cuadrada (si es posible).

9Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + c = 0\])

  • a \[ x^2 - 4 = 0 \]
  • b \[ 2x^2 - 3 = x^2 + 13 \]
  • c \[ x^2 + 5 = 0 \]
  • d \[ 2x^2 + 4 = x^2 + 4 \]

Ecuaciones de la forma (\[ax^2 + bx = 0\])

Sacamos factor común \[x\] y resolvemos las ecuaciones de primer grado de cada uno de los factores igualadas a cero.

10Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[ax^2 + bx = 0\])

  • a \[ 6x^2 - 3x = 0 \]
  • b \[ x^2 + 2x = 3x \]
  • c \[ 3x^2 - 8x = 2x + x^2 \]
  • d \[ 4x^2 - 10x = 4x - 2x^2 \]

Ecuaciones de segundo grado completas (\[ ax^2 + bx + c = 0 \])

11Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado (\[(dx + e)^2 + c = 0\])

  • a \[ (x + 3)^2 - 4 = 0 \]
  • b \[ (x-2)^2 + 2 = 0 \]
  • c \[ (x+3)^2 - 1 = 3 \]

Fórmula general

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

13Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general:

  • a \[ x^2 + x -12 = 0 \]
  • b \[ 4x^2 - 20x + 25 = 0 \]
  • c \[ 6x^2 - 7x - 3 = 0 \]
  • d \[ x^2 - 16 = 0 \]

14FICHA

Problemas

FICHA