Tema 1: Números naturales y potencias

1 Escribe en el sistema de numeración romano estas cantidades:

  1. 18
  2. 43
  3. 98
  4. 3456

2 Escribe en el sistema de numeración decimal el valor de estos números romanos:

  1. CXLIX
  2. CCCXXVII
  3. VCCCXXXI

3 Observa el número 943751026.

  1. ¿Cuál es la cifra de las unidades de millar o millares? ¿Cuántos millares tiene el número?
  2. ¿Cuál es la cifra de las decenas de mil o decenas de millar? ¿Cuántas decenas de millar tiene el número?
  3. ¿Cuántas decenas tiene el número dado? ¿Cuántas decenas de millón tiene? ¿Cuál es la cifra de las decenas de millón?

4 Operaciones con números naturales: Suma y Resta

  1. 3690 + 7647
  2. 2563 - 1230
  3. 1253 + 4142
  4. 8523 - 5201
  5. 2369 + 4810
  6. 7428 + 1206

5Responde verdaadero o falso a los siguientes enunciados sobre la multiplicación. En caso de que sea falso, indicar un contraejemplo.

  1. Al multiplicar un número por tres obtenemos el mismo resultado que si le sumamos su doble.
  2. Tres veces quince es lo mismo que quince veces tres.
  3. Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar dos veces por cinco.
  4. Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar primero por cinco y después por dos.
  5. La propiedad conmutativa se cumple solo para los números pares.

6 Averigua el cociente y el resto en cada división:

  1. 96 : 13
  2. 713 : 31
  3. 5309 : 7
  4. 7029 : 26
  5. 49896 : 162
  6. 80391 : 629

7 Calcula y compara los resultados. Después, reflexiona y contesta si cumple la división la propiedad asociativa?

  1. (50 : 10) : 5     50 : (10 : 5)
  2. (36 : 6) : 2     36 : (6 : 2)

8 Averigua el término que falta en cada división:

  1. Dividendo: ?   Divisor: 53   Cociente: 15   Resto: 39
  2. Dividendo: 1000   Divisor: ?   Cociente: 38   Resto: 12

9Responde verdaadero o falso a los siguientes enunciados sobre la multiplicación. En caso de que sea falso, indicar un contraejemplo.

  1. El cociente debe ser mayor que el divisor.
  2. El resto es siempre menor que el divisor.
  3. Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el cociente se hace el doble.
  4. Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el cociente aumenta al triple.
  5. La división cumple la propiedad conmutativa.

...

10Resuelve las siguientes operaciones combinadas con números naturales:

  1. \[ 3 \cdot 5 + 4 \cdot (5 - 2) - (14 - 3) \cdot 2 \]
  2. \[4 \cdot [3 + 5 \cdot (2 + 1) - 4] + 30 \div 6 \]
  3. \[7 \cdot (14 - 2) - 4 \cdot (5 + 7) + 3 \cdot 4 \]
  4. \[8 \cdot (5 + 40 \div 2) - 4 \cdot 30 - 20 \cdot 2 \cdot 2 \]
  1. \[ 40 - [5 \cdot 4 - 3 \cdot (2 + 3) + 5] \cdot 3 \]
  2. \[ 4 \cdot 3 \div 2 - (4 + 7) \cdot 2 + 3 \cdot (5 + 2 \cdot 3 - 5) \]
  3. \[ 30 - 5 \cdot 8 \div 4 - [20 \div 4 + (8 - 6) \cdot 2 - 2 \cdot 3] \]
  4. \[ 3 \cdot 40 - 120 \div 3 - [30 + 20 - 10 \cdot 8 \div 5] - 5 \]
  1. \[ [45 - (3 + 1) \cdot 9] \cdot 2 - 3 \cdot [(6 - 4) \cdot 2 - 2] \]
  2. \[ 8 \cdot 5 - 4 \cdot (3 + 2) - (40 \div 8) \cdot 3 \]
  3. \[ 9 \cdot 25 - [(5 + 4) \cdot 12 + 20 \cdot 2] + 320 \div 4 \]
  4. \[ [(2 + 3) \cdot 5 + 4 \cdot (30 \cdot 5 + 1)] \cdot 2 - 8 \cdot 9 \]

Potencias

Concepto de potencias

Una potencia es una expresión matemática que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.

\[2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]

Por ejemplo, "2 elevado a 3" indica que el 2 se multiplica por si mismo 3 veces

El número que se multiplica por si mismo (2 en el ejemplo) se llama "base" y el número de veces que se multiplica (3 en el ejemplo) se llama "exponente".

11Calcula las siguientes potencias:

  1. \[3^2 \]
  2. \[2^5 \]
  3. \[6^3 \]
  4. \[10^5 \]

12 Expresa en forma de potencia:

  1. \(4\)
  2. \(36\)
  3. \(64\)
  4. \(100\)

Veamos dos exponentes particulares...

Exponente 1

¿Por ejemplo, \[3^1\] a qué es igual?

\[3^1 = 3\]

Cualquier número elevado a 1 es ese mismo número

Exponente 0

¿Por ejemplo, \[3^0\] a qué es igual?

\[3^0 = 1\]

Cualquier número elevado a 0 es 1

13Calcula las siguientes potencias:

  1. \[2^4 \]
  2. \[11^0 \]
  3. \[5^3 \]
  4. \[27^1 \]

14Indica cual es la base y el exponente de las siguientes potencias:

  1. \[2^4 \]
  2. \[11^0 \]
  3. \[5^3 \]
  4. \[27^1\]

Propiedades de las potencias

Producto de potencias de la misma base

Cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes. Es decir, si tenemos \( a^m \cdot a^n \), el resultado será \( a^{m+n} \).

15 Calcula el producto de las siguientes potencias empleando sus propiedades:

  1. \( 2^3 \cdot 2^4 \)
  2. \( 5^2 \cdot 5^3 \)
  3. \( 7^1 \cdot 7^5 \)
  4. \( 3^3 \cdot 3^2 \)

División de potencias de la misma base

Cuando dividimos potencias con la misma base, restamos los exponentes. Es decir, si tenemos \( a^m \div a^n \), el resultado será \( a^{m-n} \).

16 Calcula la división de las siguientes potencias empleando sus propiedades:

  1. \( 2^5 \div 2^2 \)
  2. \( 6^4 \div 6^3 \)
  3. \( 10^3 \div 10^1 \)
  4. \( 8^6 \div 8^4 \)

Potencias de un producto o división

La potencia de un producto o división distribuye la potencia a cada factor. Por ejemplo, \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) y \( (a \div b)^n = a^n \div b^n \).

16 Expande las potencias de las siguientes divisiones y productos. P. Ejemplo \[(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\]

  1. \( (2 \cdot 5)^3 \)
  2. \( (3 \cdot 4)^2 \)
  3. \( (6 \div 2)^4 \)
  4. \( (9 \div 3)^2 \)

17 Contrae los siguientes productos y divisiones bajo la misma potencia. P. Ejemplo \[2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4\]

  1. \( 2^3 \cdot 5^3 \)
  2. \( 4^2 \cdot 6^2 \)
  3. \( 14^5 \div 2^5 \)
  4. \( 9^4 \div 3^4 \)

Potencia de una potencia

Cuando elevamos una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes. Es decir, \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

18 Calcula las siguientes potencias de potencias aplicando sus propiedades.

  1. \( (2^3)^2 \)
  2. \( (5^2)^3 \)
  3. \( (7^1)^4 \)
  4. \( (3^2)^2 \)

19 Realiza las siguientes operaciones con potencias aplicando las propiedades.

  1. \( 2^4 \cdot 2^3 \div 2^5 \)
  2. \( 5^3 \cdot 5^2 \div 5^4 \)
  3. \( (3^2)^3 \div 3^3 \)
  4. \( 7^5 \div 7^3 \cdot 7^2 \)

Raíces cuadradas

Raíz cuadrada de un número

La raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da el valor original. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, porque \( 3 \cdot 3 = 9 \).

\(\sqrt{9} = 3\)

20 Calcula las siguientes raíces cuadradas:

  1. \( \sqrt{36} \)
  2. \( \sqrt{16} \)
  3. \( \sqrt{49} \)
  4. \( \sqrt{81} \)

Cálculo de raíces cuadradas por tanteo

El cálculo de raíces cuadradas por tanteo consiste en encontrar progresivamente la raíz aproximada de un número a partir de pruebas sucesivas.

21 Calcula las siguientes raíces cuadradas por tanteo:

  1. \( \sqrt{169} \)
  2. \( \sqrt{441} \)
  3. \( \sqrt{676} \)
  4. \( \sqrt{1089} \)

Operaciones combinadas con potencias y raíces

Jerarquía de operaciones

Para resolver expresiones matemáticas combinadas, es importante seguir la jerarquía de operaciones:

  1. Paréntesis, corchetes y llaves
  2. Potencias y raíces
  3. Multiplicaciones y divisiones
  4. Sumas y restas

21 Resuelve el resultado de las siguientes operaciones combinadas con potencias:

  1. \( 2^3 + 3^2 - (2 \cdot \sqrt{16}) \)
  2. \( (5^2 - 4^2) + (3^3 / 3) \)
  3. \( \sqrt{25} + 2^3 - (4^2 - 2) \)
  4. \( (3^2 \cdot 2) - (5 + \sqrt{64}) \)

Problemas

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Aproximación de números

¿Qué es aproximar un número?

Aproximar un número consiste en obtener un valor cercano al número original, pero más simple, según el criterio que se use (truncamiento, redondeo, etc.).

Aproximación por truncamiento

La aproximación por truncamiento consiste en eliminar todas las cifras decimales a partir de un cierto punto sin alterar las cifras anteriores.

22 Aproxima los siguientes números por truncamiento:

  1. 3145 (truncado a las centenas)
  2. 5987 (truncado a las decena)
  3. 12345 (truncado a las unidades de millar)
  4. 78912 (truncado a las centenas)

Aproximación por redondeo

La aproximación por redondeo consiste en ajustar el valor según las cifras decimales, aumentando o disminuyendo el último valor conservado dependiendo de la siguiente cifra.

23 Aproxima los siguientes números por redondeo:

  1. 3147 (redondeado a las centenas)
  2. 5985 (redondeado a las decenas)
  3. 12845 (redondeado a las unidades de millar)
  4. 78912 (redondeado a las centenas)

Cálculo de errores

¿Qué es un error?

El error en una medición es la diferencia entre el valor medido y el valor real. Se puede clasificar en error absoluto y error relativo.

¿Cómo medimos un error?

Medimos el error comparando la medición con el valor verdadero o el valor aceptado, utilizando fórmulas para calcular el error absoluto o relativo.

Error absoluto

El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre la medición realizada y el valor verdadero. La fórmula es \( |X_{\text{medido}} - X_{\text{verdadero}}| \).

24 Calcula el error absoluto cometido en las siguientes mediciones:

  1. Medición: 3, Valor verdadero: 2
  2. Medición: 6, Valor verdadero: 5
  3. Medición: 12, Valor verdadero: 10
  4. Medición: 9, Valor verdadero: 8

Error relativo

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero, normalmente expresado en porcentaje. La fórmula es \( \frac{\text{Error absoluto}}{X_{\text{verdadero}}} \times 100 \).

25 Calcula el error relativo cometido en las siguientes mediciones:

  1. Medición: 3, Valor verdadero: 2
  2. Medición: 6, Valor verdadero: 5
  3. Medición: 12, Valor verdadero: 10
  4. Medición: 9, Valor verdadero: 8
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