Números Enteros

Números negativos

Números negativos

Los números negativos son aquellos que están por debajo de cero en la recta numérica. Representan cantidades como deudas o temperaturas bajo cero. Se denotan con el signo menos (-) delante del número.

Por ejemplo, una temperatura bajo cero podría ser -3º C.

1 Expresa estos enunciados con un número positivo, negativo o cero:

  1. El punto de fusión del hidrógeno es 259 grados bajo cero.
  2. La altitud con respecto al nivel del mar si estoy sitúado en la orilla de la playa.
  3. El Titanic está sumergido a 3800m bajo el nivel del mar.
  4. Saldo de mi cuenta bancaria si tengo ahorrados 2000€.

2 Indica el significado de los números negativos en cada una de las situaciones:

  1. -4: Temperatura
  2. -200: El balance de cuenta
  3. -50: Posición con respecto al nivel del mar de un submarino.
  4. -20: El año en el que ocurrió cierto suceso.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número representa su distancia al cero en la recta numérica, independientemente de si es positivo o negativo.

Se denota por barras, por ejemplo, \( |−5| = 5 \).

3 Calcula el valor absoluto de los siguientes números:

  1. \(|−7|\)
  2. \(|4|\)
  3. \(|−12|\)
  4. \(|0|\)

Opuesto

El opuesto de un número es aquel que tiene el mismo valor numérico pero el signo contrario.

Por ejemplo, el opuesto de \(−3\) es \(3\), y el opuesto de \(4\) es \(−4\).

4 Calcula el opuesto de los siguientes números:

  1. \(Op(8)\)
  2. \(Op(-15)\)
  3. \(Op(7)\)
  4. \(Op(-3)\)

Representación en la recta numérica

Los números enteros pueden representarse en una recta numérica donde los valores a la derecha del cero son positivos y los de la izquierda son negativos.

5 Representa en la recta numérica los siguientes números:

  1. \(−3\)
  2. \(2\)
  3. \(0\)
  4. \(−5\)

6 Indica qué números están representados en la siguiente recta:

Comparación de números enteros

Para comparar números enteros, consideramos su posición en la recta numérica: los números más a la derecha son mayores, y los que están más a la izquierda son menores.

7 Ordena de menor a mayor las siguientes series de números enteros:

  1. \(-3, 0, 5, -1\)
  2. \(7, -8, 2, -4\)
  3. \(6, -2, 3, -5\)
  4. \(-6, 4, -1, 2\)

Operaciones con enteros

Suma y resta con resultados negativos

Al sumar o restar números enteros, si tienen el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y mantenemos el signo. Si tienen signos opuestos, restamos el menor valor absoluto del mayor y usamos el signo del mayor.

8 Realiza las siguientes sumas y restas:

  1. \(7 − 3)\)
  2. \(−5 + 8\)
  3. \(−9 − 4)\)
  4. \(12 − 15\)
  5. \(2 + 7\)
  6. \(-5 + 3\)

Si tenemos más de números para restar y/o sumar, podemos:

  • Hacer la operación de izquierda a derecha agrupando de 2 en dos.
    Por ejemplo: \(-4 + 7 -2 + 5 = 3 - 2 +5 = 1 + 5 = 6 \)
  • Agrupar los números del mismo signo sumándo sus valores absolutos.
    Por ejemplo: \(-4 + 7 -2 + 5 = -6 + 12 = 6 \)<

9 Realiza las siguientes operaciones agrupando primero los números con el mismo signo:

  1. \(3 −7 + 5 - 4 + 3 + 2\)
  2. \(−4 + −6 + 8 - 2 - 4\)
  3. \(−10 + 12 − 5 + 3 + 1\)
  4. \(15 − 3 − 4 - 1 + 7\)

Regla de los signos

  • \(1 + (+2) = 1 + 2 = 3 \)
  • \(1 + (-2) = 1 - 2 = -1 \)
  • \(1 - (+2) = 1 - 2 = -1 \)
  • \(1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \)

10 Realiza las siguientes sumas y restas aplicando la regla de los signos:

  1. \( ( +3) - ( -5)\)
  2. \( ( -2) + ( -3)\)
  3. \( ( +6) + (+10)\)
  4. \( (-10) + ( +5)\)
  5. \( (+13) - (+20) \)

11 Realiza las siguientes operaciones paso a paso:

  1. \( (-6) + (−2) − (+4) + (-8) \)
  2. \( (−7) + (+5) − (+3) - (+4)\)
  3. \( (+12) − (+9) + (−6) - (-3)\)
  4. \( (−8) + (+4) + (−5) + (-7)\)

Multiplicación y división de números negativos

Cuando multiplicamos o dividimos dos números con el mismo signo, el resultado es positivo. Si tienen signos opuestos, el resultado es negativo.

12 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros:

  1. \( (−3) \cdot (+4)\)
  2. \( (−5) \cdot (−2)\)
  3. \( (+15) : (−3)\)
  4. \((−16) : (+4)\)

13 Resuelve las siguientes operaciones:

  1. \((−6) \cdot (−3) : 2\)
  2. \(5 \cdot (−4) \cdot 8\)
  3. \(10 : (−2) \cdot (-5)\)
  4. \((−12) : (-3) : 2\)

Potencias de números enteros

Las potencias de números enteros siguen ciertas reglas. Si el exponente es par, el resultado siempre es positivo; si es impar, el resultado tiene el mismo signo que la base.

14 Indica el signo de las siguientes potencias:

  1. \((−3)^4\)
  2. \((−2)^3\)
  3. \(5^2\)
  4. \((−1)^5\)

Operaciones combinadas con enteros

Jerarquía de operaciones con enteros

Para resolver operaciones combinadas, es importante seguir la jerarquía de operaciones: primero se resuelven las potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas.

15 Resuelve las siguientes operaciones combinadas con números enteros:

  1. $(-5) \cdot (+6) - 8 + 12$
  2. $15 \div 3 - 4 \cdot (-2)$
  3. $(-10) + \left[5 \cdot (-3) + 8 \cdot (-4)\right]$
  4. $\left[20 \div (-5) - 6 \cdot (-3)\right] + 2 \cdot (-7)$
  5. $\left[\left(3 \cdot (-4) + 5 \right) \cdot (-2)\right] + \left(10 \cdot (-3) + 15\right)$

15

  1. $(-8) + 3 \cdot (-2) - \left[6 \cdot (+4) - 5\right]$
  2. $\left[15 - (-3) \cdot 6\right] + 8 \div (-4) - 7$
  3. $\left\{10 + \left[(-6) \cdot (+5) + 12\right]\right\} \cdot (-2)$
  4. $\left[(-4) \cdot (-6) + 6\right] \div \left[9 - 3 \cdot (-2)\right] + (-7)$
  5. $\left\{\left[(-5) \cdot 4 - (-8)\right] + 3 \cdot (-2)\right\} \cdot (-3) + 12$

Problemas