Álgebra

Variable y expresión algebraica

¿Qué es una variable?

Una variable es un símbolo que representa un valor desconocido o cambiante en una expresión o ecuación.

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones matemáticas.

1 Traduce los siguientes enunciados a una expresión algebraica:

  1. El doble de un número.
  2. La suma de un número y cinco.
  3. El cuadrado de un número menos tres.
  4. El producto de dos números consecutivos.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números específicos.

2 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados:

  1. \(x + 3\) para \(x = 5\).
  2. \(2y - 7\) para \(y = 4\).
  3. \(3a^2\) para \(a = 2\).
  4. \(\frac{4b}{2}\) para \(b = 8\).

Monomios

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término formado por el producto de números y variables.

3 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios:

  1. \(3x\)
  2. \(x + 2\)
  3. \(5xy\)
  4. \(\sqrt{7x}\)

Partes de un monomio

Las partes de un monomio son el coeficiente, la parte literal y el grado.

4 Indica cuál es el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno de los siguientes monomios:

  1. \(3x^2\)
  2. \(5y\)
  3. \(-7z^3\)
  4. \(2\)

Operaciones con monomios

Monomios semejantes

Los monomios semejantes tienen la misma parte literal, con los mismos exponentes.

5 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:

  1. \(3x\) y \(5x\)
  2. \(x^2\) y \(x^3\)
  3. \(4y^2\) y \(-2y^2\)
  4. \(7\) y \(7x\)

6 Indica un monomio semejante a cada uno de los siguientes monomios:

  1. \(3x\)
  2. \(-5y^2\)
  3. \(7z\)
  4. \(x^3\)

Suma y resta de monomios

Para sumar o restar monomios, deben ser semejantes; se suman o restan los coeficientes.

7 Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

  1. \(3x + 5x -3y + 4x -y\)
  2. \(4y^2 - 2y^2 +2y -y^2 + y\)
  3. \(-7z + 2z -5z + 6y^2 + z - y^2\)
  4. \(x - x + 3x - y + 5y\)

Producto de monomio por un número

El producto de un monomio por un número se realiza multiplicando el coeficiente por el número dado.

8 Realiza los siguientes productos de monomio por un número:

  1. \(3x \cdot 2\).
  2. \(5y^2 \cdot (-3)\).
  3. \(-4z \cdot 4\).
  4. \(2 \cdot (-5x)\).

Produto y cociente de monomios

9Calcula el producto o cociente de los siguientes monomios:

  1. \(3x^2 \cdot 7x^5 \)
  2. \(7xy \cdot 8x^2\)
  3. \(8x^2y : 2x\)
  4. \(27xyz^2 : 3xz\)

Potencia de un monomio

Debemos aplicar las propiedades de las poencias elevando cada uno de los factores del monomio.

10Calcula las potencias de los siguientes monomios:

  1. \( (3x)^2 \)
  2. \( (2xy^2)^4 \)
  3. \( (4x^2y^3)^3 \)
  4. \( (5xy^3)^2 \)

Polinomios

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios.

11 Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:

  1. \(2x + 3\).
  2. \(4y^2 - 5y + 1\).
  3. \(-7z^3 + z\).
  4. \(\sqrt{9x^4}\).

Partes de un polinomio

Las partes de un polinomio son los términos, el coeficiente principal, y el grado del polinomio.

12 Indica los términos y el grado de los siguientes polinomios:

  1. \(3x^2 + 2x + 1\)
  2. \(-5y + 7\)
  3. \(4z^3 - 3z + 2\)
  4. \(x^4 - x^3 + x - 1\)

Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios, se suman o restan los coeficientes de los términos semejantes.

13 Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:

  1. \((3x^2 + 2x) + (5x^2 - 3x)\)
  2. \((4y^2 - y + 1) - (2y^2 + y - 3)\)
  3. \((-x^3 + 4x - 5) + (2x^3 - x + 7)\)
  4. \((z^2 + 3z - 2) - (4z^2 - z + 1)\)

Producto de un polinomio por un número

El producto de un polinomio por un número se realiza multiplicando cada término del polinomio por el número dado.

14 Realiza los siguientes productos de un polinomio por un número:

  1. \(2(3x^2 + 4x - 5)\)
  2. \(-3(2y^2 - y + 1)\)
  3. \(4(-x^3 + 2x - 3)\)
  4. \(5(z^2 - z + 1)\)

Ecuaciones

Ecuación

Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables.

Partes de una ecuación

Las partes de una ecuación incluyen los miembros, las incógnitas y los términos constantes.

15 Indica los miembros de las siguientes ecuaciones y el grado:

  1. \(3x + 5 = 11\)
  2. \(4y^2 - 7 = 2y + 1\)
  3. \(-x^3 + 4x = 8\)
  4. \(z^2 - z = 0\)

Solución de una ecuación

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad.

16 Comprueba que los valores dados son solución de las siguientes ecuaciones:

  1. \(x = 2\) para \(3x + 5 = 11\).
  2. \(y = 1\) para \(4y^2 - 7 = 2y + 1\).
  3. \(x = -2\) para \(-x^3 + 4x = 8\).
  4. \(z = 1\) para \(z^2 - z = 0\).

Ecuaciones equivalenes

Dos ecuaciones son equivalenes cuando tienen el mismo conjunto solución.

Construcción de ecuaciones equivalentes

Podemos construír ecuaciones equivalentes aplicando las mismas operaciones a los dos miembros.

17Calcula ecuaciones equivalentes a las siguientes como se indica. A continuación comprueba que la solución sigue siendo la misma:

  1. \( 3x - 5 = -2 \). Suma 3 en los dos miembros (Sol: (\(x=1\))
  2. \( 5x + 4 = 19 \). Multiplica por 2 los dos miembros (Sol: \(x=3\))
  3. \(2x + 3 = x + 2\). Resta 7 a cada miembro (Sol: \(x=-1\))
  4. \(4x - 2 = 10 \). Divisde entre 2 los dos miembros (Sol: \(x=3\)

Resolución de ecuaciones

Resolución de ecuaciones con términos independientes en un solo miembro

Para resolver estas ecuaciones, se despeja la variable aislándola en un miembro.

18 Resuelve las siguientes ecuaciones con términos independientes en un solo miembro:

  1. \(3x + 4x = 11 + 3\).
  2. \(4y - 2y + y = 9\).
  3. \(-x + 2x + 3x = 2 + 10\).
  4. \(z - 2z + z = 3 - 4 + 1\).

18

  1. \(3x - 5x = 5 - 7 \)
  2. \(4x + 2x -1 = 5 + 10 \)
  3. \(6x -2x = 16 \)
  4. \(8x - 3x= 10 \cdot 2 \)

Resolución de ecuaciones con números y variables en ambos miembros

Para resolver estas ecuaciones, se agrupan los términos semejantes y se despeja la variable.

19 Resuelve las siguientes ecuaciones con números y variables en ambos miembros:

  1. \(3x + 5 = 2x + 7\).
  2. \(4y - 3 = y + 9\).
  3. \(-x + 6 = 2x - 8\).
  4. \(z + 2 = 3z - 4\).

19

  1. \( 2x+3=3x \)
  2. \( 2y-3=y+5 \)
  3. \( 5+8x=2x+20 \)
  4. \( 3x-10=2x+1\)

Ecuaciones con paréntesis

Debemos resolver los paréntesis y continuar como las ecuaciones anteriores.

20Resuelve las siguientes eucaciones con paréntesis:

  1. \( 10+5(x-3)=3(x+1) \)
  2. \( 7(x-1)-2(x+8) =3(x-3) \)
  3. \( 15x=2(1+9x)-3\)
  4. \( 2(1+ x)-3(x-1)-6=x-11 \)

  1. \( 3x-7=2(x+1)\)
  2. \( 2(2+4x)=3+12x\)
  3. \( 2(x-5)=3x-17\)
  4. \( 2y-1=3(2y-15) \)

Problemas de ecuaciones